2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[Metin Can Aydemir]

$b=a+1$ olmak üzere, her $a\in\mathbb{R}$ için sağlanan $$1-a+a^2-a^3+\cdots +a^{20}-a^{21}=c_{21}b^{21}+c_{20}b^{20}+\cdots+c_2b^2+c_1b+c_0$$ eşitliğinde $c_2$ katsayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1020 \qquad\textbf{b)}\ 1200  \qquad\textbf{c)}\ 1580 \qquad\textbf{d)}\ 1420 \qquad\textbf{e)}\ 1540$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{E}$

$a=b-1$ olduğunu kullanarak sol tarafta oluşan $b^2$  teriminin katsayısını hesaplayalım.

$1-(b-1)+(b-1)^2-(b-1)^3+...+(b-1)^{20}-(b-1)^{21}$ olur, dikkat edilirse her terimdeki $b^2$  li terimlerin katsayıları pozitiftir.

Katsayıları hesaplamaya başlayalım.

$$\dbinom{2}{0}+\dbinom{3}{1}+\dbinom{4}{2}+\dbinom{5}{3}+...+\dbinom{21}{19}=\dfrac{1}{2}.(2.1+3.2+4.3+...+21.20)=\dfrac{1}{2}{\overset{20}{\underset{k=1}{{\displaystyle\sum}}}k^2+k}=\dfrac{1}{2}.(\dfrac{20.21.41}{6}+\dfrac{20.21}{2})=1540$$ olarak bulunur.

Not: En genel halde $\dbinom{2}{0}+\dbinom{3}{1}+...+\dbinom{n}{n-2}=\dbinom{n+1}{n-2}=\dbinom{n+1}{3}$ eşitliği geçerlidir.