2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[Metin Can Aydemir]

Berk, öğleden sonra $5$ ile $6$ arasında evden çıkıyor ve $6$ ile $7$ arasında eve geri dönüyor. Saatine baktığında ise, evden çıkış ve dönüş saatlerinde akrep ile yelkovanın tamamen yer değiştirmiş olduğunu görüyor. $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere, Berk'in evden çıkış saati $5+\dfrac{m}{n}$ ise, $5n+m$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 72 \qquad\textbf{b)}\ 794  \qquad\textbf{c)}\ 768 \qquad\textbf{d)}\ 71 \qquad\textbf{e)}\ 61$

[berksel03]

Berk, $60> x,y\geq0$ olmak üzere $5$ saati $x$ dakika geçe evden çıksın ve $6$ saati $y$ dakika geçe eve geri dönsün. Akrep ve yelkovanı konumunu, $12$ sayısından sonra kaç derece döndükleri olarak tanımlayalım.Akrep bir dakikada $0.5$ derece, yelkovan bir dakikada $6$ derece döner. İlk durumda akrep $150+\dfrac{x}{2}$ ve yelkovan $6x$ konumunda; ikinci durumda ise akrep $180+\dfrac{y}{2}$ konumunda, yelkovan ise $6y$ konumundadır. $6x=180+\dfrac{y}{2}$ ve $6y=180+\dfrac{x}{2}$ eşitlikleri birlikte çözülerek $x=\dfrac{420}{13}$ bulunur. Bunu saat cinsine çevirir isek $\dfrac{m}{n}=\dfrac{7}{13}$ $m=7$ ve $n=13$. Cevap da $5n+m=72$ bulunur.