2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[Metin Can Aydemir]

$m$ ve $n$ pozitif tamsayılarının en büyük ortak bölenini $(m,n)$ ile gösterelim. Buna göre, $$(1,120)+(2,120)+(3,120)+(4,120)+\cdots+(120,120)$$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 960 \qquad\textbf{b)}\ 600  \qquad\textbf{c)}\ 720 \qquad\textbf{d)}\ 900 \qquad\textbf{e)}\ 810$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$\phi(n)$, $n$'den küçük veya eşit $n$ ile aralarında asal olan sayıların sayısını göstermek üzere biliyoruz ki eğer $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ ise $$\phi(n)=(p_1^{\alpha_1}-p_1^{\alpha_1-1})\cdot (p_2^{\alpha_2}-p_2^{\alpha_2-1})\cdots (p_k^{\alpha_k}-p_k^{\alpha_k-1})$$ olur. $n$ sayısından küçük veya eşit ve $(m,n)=k$ olacak şekildeki tüm $m$'ler için $(m,n)$ ifadelerinin toplamı $k\cdot \phi\left(\dfrac{n}{k}\right)$ olacaktır. $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ olduğundan $(m,120)$ ifadeleri $\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$ değerlerini alabilir. Her biri için $k\cdot \phi\left(\dfrac{n}{k}\right)$ değerini hesaplayıp toplamalıyız. $$1\cdot \phi\left(\dfrac{120}{1}\right)+2\cdot \phi\left(\dfrac{120}{2}\right)+\cdots +60\cdot \phi\left(\dfrac{120}{60}\right)+120\cdot \phi\left(\dfrac{120}{120}\right)=900$$ bulunur.