2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[Metin Can Aydemir]

Yukarıdaki şekilde, $O$ merkezli ve $1$ br yarıçaplı $C$ çemberi ve $|OA|=2$ br olacak şekilde bir $A$ noktası verilmiştir. $A$ noktasından geçen, merkezi $C$ çemberi üzerinde ve $C$ çemberine teğet olan çemberin, $C$ çemberine değme noktası $T$ olsun. $|AT|$ uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{7}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{6} \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{5}$

[geo]

Yanıt: $\boxed{\text {C}}$

İkinci çemberin merkezi $P$ olsun.

$T, O, P$  doğrusaldır. $AO$, $\triangle ATP$ de bir kenarortaydır. $PT=PA=2$ olduğundan kenarortay teoreminden $$AT^2 + AP^2 = 2(AO^2 + OT^2) \Rightarrow AT^2 = 2(4+1)-4=6 \Rightarrow AT = \sqrt 6$$

[geo]

$AT$ ile $C$ nin kesişimi $R$, ikinci çemberin merkezi $P$ olsun.

Çemberlere $T$ de teğet olan $\ell$ doğrusunu çizelim. $O$ merkezli çemberdeki teğet kiriş açısı $\angle TPR$ ile $P$ merkezli çemberdeki teğet kiriş açısı eşit olacaktır. Bu durumda $P$ merkezli çemberde bu kirişi ($AT$) gören merkez açı $\angle TPA = 2\angle TPR$ olacaktır. $TP=PA$ ve $\angle TPR = \angle APR$ olduğu için $AR=RT = \dfrac {AT}{2}$. $A$ noktasının $O$ merkezli çembere göre kuvvetinden $$AR\cdot AT = AO^2 - OT^2 \Rightarrow \dfrac {AT^2}{2} = 4 - 1 =3 \Rightarrow AT = \sqrt 6$$

[Seyit Çetin]

19. soru