Yanıt: $\boxed{\text{B}}$
Söz konusu iki eş çember vardır. Birinin merkezi ($O_1$) $BC$ ye göre $A$ ile farklı tarafta; diğerinin merkezi ($O_2$) $BC$ ye göre $A$ ile aynı tarafta.
$AB$ nin $O_1$ merkezli çemberle kesişimi $B_1$, $O_2$ merkezli çemberle kesişimi $B_2$ olsun. Benzer şekilde $C_1$ ve $C_2$ yi tanımlayalım. Aradığımız üçgenler $\triangle AB_1C_1$ ve $\triangle AB_2C_2$. Aradığımız uzunluk da $AB_1 + AB_2$.
Soruyu çözmeden önce daha genel bir çıkarımda bulunacağız.
İddia: $AB_2 = BB_1$.
İspat:Çemberlerin yarıçapı $r$ olsun.
$\angle BB_2C$, $O_2$ merkezli çemberde $BC$ kirişini görüyor. $\angle BB_1C$ de, $O_1$ merkezli çemberde $BC$ kirişini görüyor. Bu durumda çemberler eş olduğu için Sinüs Teoreminden $\sin \angle BB_2C = \sin \angle BB_1C = \dfrac{BC}{2r}$. Bu da ya $\angle BB_2C = \angle BB_1C$ ya da $\angle BB_2C = 180^\circ - \angle BB_1C$ demektir. Ayrıca $AC=BC$ olduğu için her iki durumda da $BB_1 = AB_2$ olacaktır. $\blacksquare$
$B_1$ ve $B_2$, $[AB]$ üzerinde olabilir ya da $[AB]$ dışında olabilir.
İlk durumda $AB_1 + AB_2 = AB - BB_1 + AB_2 = AB$ olacaktır.
İkinci durumda $AB_1 + AB_2 = AB + BB_1 + BB_2$ olacaktır.
$B_1$ ve $B_2$ nin $[AB]$ üzerinde olduğu durum, $\angle BB_2C = 180^\circ - \angle BB_1C$ durumudur. Bu durumda $\angle BO_1C > 120^\circ$ olur. Ancak $BC > R\sqrt 3$ olduğunda bu eşitsizlik sağlanır. Soruda $4 < 3\sqrt 3$ olduğu için, ayrıca şıklarda $AB=4$ olmadığı için aradığımız durum bu değil.
İkinci durum için sorunun çözümüne gelecek olursak...
$AB=BC=AC=a$, $O_1O_2$ ile $BC$ nin kesişimi $M$ olsun. $AO_1 = AM + MO_1$ ve $AO_2 = AM - O_2M = AM - O_1M$.
$A$ noktasının iki çembere göre de kuvvetini alacağız.
$AO_1^2 - r^2 = AB \cdot AB_1$ ve $r^2 - AO_2^2 = AB \cdot AB_2$. (bkz.
Çemberde Kuvvet Tanımı (ingilizce))
Taraf tarafa topladığımızda $AB \cdot (AB_1 + AB_2) = AO_1^2 - AO_2^2 = 4\cdot AM \cdot O_1M$ elde ederiz.
$AM=h=\dfrac{a\sqrt 3}{2}$, $O_1M = O_2M = \sqrt {O_1B^2 - \left ( \dfrac{BC}{2} \right ) ^2 } = \sqrt {r^2 - \dfrac{a^2}{4}}$ değerlerini yerine yazarsak $$ AB \cdot (AB_1 + AB_2) =AB \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt {4r^2 - AB^2} \Rightarrow AB_1 + AB_2 = \sqrt 3 \cdot \sqrt {4r^2 - a^2}$$ elde edilir. $r=3$, $a=4$ için $AB_1 + AB_2 = 2 \sqrt {15}$ olacaktır.
Çizim:
https://www.geogebra.org/graphing/e7dqgmgc
