2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[Metin Can Aydemir]

$x,y$ pozitif tamsayıları için, $\dfrac{20}{107}<\dfrac{x}{y}<\dfrac{19}{100}$ eşitsizliğini sağlayan en küçük $y$ tamsayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 9$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{C}$

$\dfrac{20}{107}$ pay payda arasındaki oran hemen hemen $\dfrac{1}{5}$ olduğunu göz önüne alarak  $\dfrac{2}{10},\dfrac{2}{11},\dfrac{3}{16}...$  şeklinde denersek $\dfrac{3}{16}$  nın bunu sağladığını görürüz.

$16$ dan küçük $y$ sayısı olmadığını ise deneme yanılma ile kolaylıkla görebiliriz.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Atakan deneme-yanılma şeklinde olan çözümünü düzenleyelim. Verilen eşitsizlikte payda eşitlersek, $$\frac{20}{107}<\frac{x}{y}<\frac{19}{100}\iff 20y<107x \text{  ve  } 100x<19y$$ olur. $x=1$ ve $x=2$ için uygun $y$ olmadığını kontrol edebiliriz. Dolayısıyla $x\geq 3$ olacaktır. Dolayısıyla $$300\leq 100x<19y\implies 16\leq y$$ elde edilir. Eğer denersek $(x,y)=(3,16)$ eşitsizlikleri sağlar. Dolayısıyla $\min{y}=16$ elde edilir.