2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[Metin Can Aydemir]

$P(x)$, $n$-inci dereceden ve tamsayı katsayılı bir polinom olmak üzere, $P(0)=1809$ olsun. Farklı $x_1,x_2,\dots,x_n$ tamsayıları için $$P(x_1)=P(x_2)=\cdots=P(x_n)=2019$$ ise $n$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 3$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{D}$

$Q(x)=P(x)-2019$ olarak yazılabilir.  Dikkat edilirse $Q(x)$ polinomunun kökleri $x_1,x_2,...,x_n$ dir.

$Q(0)=-210$ bulunur. $x_1.x_2.x_3...x_n.(-1)^n=-210$ bulunur. 

$1)$ $n$ tek ise $x_1x_2...x_n=210$ olur. En fazla $1,2,3,5,7$ çarpanları ile $5$ kökü olabilir.

$2)$ $n$ çift ise $x_1.x_2...x_n=-210$ olur. En fazla $-1,1,2,3,5,7$ çarpanları ile $6$  kökü olabilir.