2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[Metin Can Aydemir]

Bir pozitif tamsayı, rakamlar toplamı birbirine eşit olan iki sayının yanyana yazılmasıyla elde edilebiliyorsa bu sayıya dengeli sayı diyelim. Örneğin; $55~(5=5),~ 123~(1+2=3),~321~(3=2+1),~9788~(9+7=8+8)$ birer dengeli sayıdırlar. Buna göre kendisi ve ardışığı dengeli olan dört basamaklı en küçük sayının $13$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{A}$

Sayımız $abcd$ , $d\not =9$ olsun. Bu durumda

$1)$ $a=b+c+d$ ve $a=b+c+d+1$ , $a+b=c+d+1$ , $a+b+c=d+1$

$2)$ $a+b=c+d$ ve $a+b=c+d+1$ , $a=b+c+d+1$ , $a+b+c=d+1$

$3)$ $a+b+c=d$ ve $a+b+c=d+1$ , $a=b+c+d+1$ , $a+b=c+d+1$   Durumları gelir ki bunların çözümü olamaz.  O halde $d=9$ olmalıdır.

Sayıyı minimum yapmak için $a=1$ alalım.

$1bc9$ sayımıza bakalım  $c\not =9$  için

$1)$ $1+b+c=9$ ise $1=b+c+1$ , $ 1+b=c+1$ , $1+b+c+1=0$  durumları gelir.
Eğer bir çözüm var ise $1+b=c+1$  yani $b=c$ için gelebilir.  İncelenirse $b=4$  ve $c=4$ bulunur $1449$ bulunur.

$2)$  $b+1=c+9$ ise $b-c=8$ yani $(b,c)=(8,0),(9,1)$  ikilileri olabilir fakat denenirse sağlamazlar.

$3)$ $1=b+c+9$ ise çözümün olmadığı açıktır.


O halde en küçük sağlayan sayı $1449$ olur.  $1449\equiv 6(mod13)$ bulunur.