2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[AtakanCİCEK]

$a_1=7$ , $a_2=15$ olmak üzere, $n\ge 1$ için,

$$a_{n+2}=- \dfrac{1}{a_{n+1}}+a_n$$

şekilde tanımlanmış bir sonlu dizinin kaçıncı terimi sıfırdır?

$\textbf{a)}\ 107 \qquad\textbf{b)}\ 106  \qquad\textbf{c)}\ 105 \qquad\textbf{d)}\ 108 \qquad\textbf{e)}\ 110$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{A}$

Verilen eşitliği $$a_{n+2}.a_{n+1}-a_{n+1}.a_n=-1$$ şeklinde düşünelim.

$$a_3a_2-a_2a_1=-1$$
$$a_4a_3-a_3a_2=-1$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$a_{n+2}.a_{n+1}-a_{n+1}.a_n=-1$$

Buradan $$a_{n+2}.a_{n+1}=105-n$$

$n=104$ için $$a_{106}a_{105}=1>0$$
$n=105$ için $$a_{107}a_{106}=0$$ olur.

Dikkat edilirse $a_{106}\not = 0$ dır. O halde $a_{107}=0$ olarak bulunur.