2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[Metin Can Aydemir]

$|AB|=|BC|$ ve $m(\widehat{ABC})=84^\circ$ olan ikizkenar $\triangle ABC$ üçgeninin içinde, $m(\widehat{DCA})=30^\circ$ ve $m(\widehat{DAC})=12^\circ$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. Buna göre, $m(\widehat{ADB})$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 60^\circ \qquad\textbf{b)}\ 64^\circ  \qquad\textbf{c)}\ 70^\circ \qquad\textbf{d)}\ 72^\circ \qquad\textbf{e)}\ 80^\circ$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm: (Murat Öz)

$ABE$ şeklinde dışarıdan eşkenar üçgen yapıştıralım. $[EC]$ doğru parçasını çizelim. Soruda Verilen üçgenin ikizkenarlığı ve $ABE$ nin eşkenarlığı ullanırsa $C,D,E$ doğrusallığı görülür. Bundan yararlanılarak diğer açıları da yazar isek $\mid EB \mid= \mid BD \mid$ olduğu görülür. Bu nedenle $\mid AB\mid =\mid BD \mid$  yani  $ABD$ nin $(72-36-72)$ altın üçgeni olduğu görülür.

[AtakanCİCEK]

Çözüm: (Hakan Ulaş)

$BDC$  üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ noktası olsun. $2.m(\widehat{BCD})=m(\widehat{BOD})=60^{\circ}$  olduğundan $BOD$  eşkenar üçgen olur. Bilgiler yerleştirilirse  $(K-A-K)$ gereğince $BOC\cong ABC$ olur. Buradan $\mid AB \mid = \mid BD \mid$    yani  $ABD$ nin $(72-36-72)$ altın üçgeni olduğu görülür.

[AtakanCİCEK]

Çözüm: (İbrahim Atakan Çiçek)

Şekildeki gibi bir  $AC// ED $ olacak şekilde doğru çizelim. $ED$ üzerinde $m(\widehat{DBE})=60^{\circ}$ olacak şekilde tek bir nokta olduğunu görebiliriz. Aynı zamanda bu özelliği sağlayan üçgenlerden biri eşkenar üçgen olduğu için $EBD$ eşkenar üçgen olmak zorundadır. Dolayısıyla açımız $60+12=72^{\circ}$ olarak bulunur.

( $EDB$ eşkenar çizilip $AC//ED$ paralelliğini varsayarak ispatlayabilirdik .)

[geo]

Model Üçgen 4.2 ailesine ait bir soru. $t = 18^\circ$.

Daha genelini ($\alpha = 18^\circ$) ispatlayalım.

Soru:
$\angle BCD = \alpha$, $\angle DCA = 30^\circ$, $\angle DAC = 30^\circ - \alpha$ ve $\angle DAB = 2\alpha$ olsun. $\angle ABD = \angle ADB = 90^\circ - \alpha$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
$\triangle ABC$ bir ikizkenar üçgendir. $\angle ABC$ açısının açıortayı ile $CD$ doğrusu $E$ de kesişsin. $CE = AE$, dolayısıyla $\angle EAD = \alpha$ ve $\angle EDA = 60^\circ - \alpha$ olacaktır. Bu durumda $\triangle AED \cong \triangle AEB$ $(A.A)$ olacaktır. $AB=AD$ olduğu için $\angle ADB = \angle ABD = 90^\circ - \alpha$. $\blacksquare$

[geo]

Genel halinin ($\alpha = 18^\circ$) trigonometrik çözümünü yapalım.

Soru:
$\angle BCD = \alpha$, $\angle DCA = 30^\circ$, $\angle DAC = 30^\circ - \alpha$ ve $\angle DAB = 2\alpha$ olsun. $\angle ABD = \angle ADB = 90^\circ - \alpha$ olduğunu gösteriniz.


Çözüm:
$\angle ABD = \beta$ olsun. Ceva teoreminin trigonometrik halinden
$$\dfrac{\sin \alpha}{\sin 30^\circ} \cdot \dfrac{\sin (30^\circ - \alpha)}{\sin 2\alpha} \cdot \dfrac{\sin \beta}{\sin (120^\circ - 2\alpha - \beta)} = 1$$
$$\dfrac{\sin \beta}{\sin (120^\circ - 2\alpha - \beta)} = \dfrac{\sin 30^\circ \cdot \sin 2\alpha}{\sin \alpha \cdot \sin (30^\circ - \alpha)} = \dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \sin (30^\circ - \alpha)} = \dfrac{\sin (90^\circ - \alpha)}{\sin (30^\circ - \alpha)} \Rightarrow \beta = 90^\circ - \alpha.\blacksquare$$

[Seyit Çetin]

8. soru