2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[Metin Can Aydemir]

$n$ ve $n+1$ sayılarının her ikisinin de rakamları toplamı $80$ ile bölünmektedir. Bu koşulu sağlayan en küçük $n$ sayısının $11$'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[AtakanCİCEK]

Yanıt : $\boxed{E}$

$n$ ve $n+1$ sayılarının son basamağı $9$ değil ise rakamlar toplamı ardışık sayı olacağı için $80$ in katı olamazlar. O halde sondan en az $1$ basamağı $9$ olmalıdır. Hatta $y$ tane $9$ olsun , $x$  tane sayı ise başında olsun . Başındaki sayılar sırasıyla $a_1a_2a_3a_4...a_x$ olsun. 

$S(n)=a_1+a_2+a_3+...+a_x+9y\equiv0(mod80)$
$S(n+1)=a_1+a_2+a_3+...+a_x+1\equiv 0(mod80)$

$9y-1\equiv 0(mod80)$ ,$y\equiv9(mod80)$, en küçük $y$ sayısı için $y=9$ olmalıdır.  Baştaki sayıların toplamı ise $a_1+a_2+a_3+...+a_x=79$ olmalıdır ki minimum olabilsin. $a_x$ yani son terimi $9$ olursa sondan $9$ basamak olması ile çelişir. Baştan da minimum $9$  basamak gerektiği açıktır.Aynı zamanda baştan da minimum basamak olması için ve sayının minimum olması için $a_1=8$ ve $a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8=9$ ve $a_9=8$ olacağını görebiliriz.   

Sayımız $n=89999999998999999999\equiv 2(mod11)$ olarak bulunur.