2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[Metin Can Aydemir]

Oğuz, öğretmeninin telefon numarasını bir kağıda yazıyor ve cebine koyuyor. Fakat, kağıdı cebinden çıkardığında, şekildeki gibi altı rakamın tamamen silindiğini görüyor.

Hatırladığı tek şey, telefon numarasındaki bulunan her bir rakamın en az iki kez bulunduğudur. Ayrıca, Oğuz silinen yerdeki rakamların $0,5,6,7,8$ olmadığına ve tamamının aynı rakam olmadığına da kesinlikle emindir. Buna göre, Oğuz'un öğretmeninin telefon numarası kaç farklı numara olabilir?

$\textbf{a)}\ 1400 \qquad\textbf{b)}\ 3600  \qquad\textbf{c)}\ 1800 \qquad\textbf{d)}\ 2800 \qquad\textbf{e)}\ 5900$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{A}$

Yıldız yerine gelebilecek rakamlar, $I = \text{{1, 2, 3, 4, 9}}$'nın elemanlarıdır ve $5$ tanedirler.

Her bir rakam 6 haneye en az iki kez gelecek ise, en fazla 3 harfi tek bir durumda kullanabiliriz, durum incelemesi yapalım,


Durum $1$: $A,B,C \in I$, $AABBCC$

$A,B,C$ eşit sayıda bulunduğundan ayırt edilemezdirler, $5 \choose 3$ farklı şekilde seçilirler ve farklı sıralamaların sayısı, tekrarlı permütasyondan $\dfrac{6!}{2!2!2!}$ 'dir.

Durum $2$: $A,B \in I$, $AAABBB$

$A,B$ eşit sayıda bulunduğundan ayırt edilemezdirler, $5 \choose 2$ farklı şekilde seçilirler ve farklı sıralamaların sayısı, tekrarlı permütasyondan $\dfrac{6!}{3!3!}$ 'dir.

Durum $3$: $A, B \in I$, $AAAABB$

Bu sefer, $A$ ve $B$'nin sayıları birbirinden farklı olduğundan biri ayrıcalıklıdır ve ayırt edilebilirler, o yüzden önce seçilip $A$ ve $B$ arasında sıralanmalıdırlar, $\binom{5}{2} \cdot 2!$ farklı şekilde seçilir ve yerleştirilir, durumun farklı sıralamalarının sayısı ise $\dfrac{6!}{4!2!}$'dir.

tek bir sayı kullanamayacağımız koşulu verildiğinden başka durum olmadığı görülebilir, bu durumların toplamı,

$\binom{5}{3} \cdot \dfrac{6!}{2!2!2!} + \binom{5}{2} \cdot \dfrac{6!}{3!3!} + \binom{5}{2} \cdot 2! \cdot \dfrac{6!}{4!2!} = 1400$'dür, $A$ şıkkında verilmiştir.