2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[Metin Can Aydemir]

$A=\dbinom{6}{6}\dbinom{12}{6}\dbinom{18}{6}\cdots \dbinom{180}{6}$ ve $B=\dbinom{8}{6}\dbinom{14}{6}\dbinom{20}{6}\cdots \dbinom{182}{6}$ olmak üzere, $$\dfrac{101\cdot B}{181\cdot A}$$ ifadesinin bir pozitif tamsayı olduğu biliniyorsa, bu tamsayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 23 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 20$

[AtakanCİCEK]

Yanıt : $\boxed{E}$

$$A=\dfrac{6!\cdot 12!\cdot 18! \cdots 180!}{(0!\cdot 6!)\cdot (6!\cdot 6!)\cdot (6!\cdot 12!)\cdots (6!\cdot 174!)}=\dfrac{180!}{(6!)^{20}}$$

$$B=\dfrac{8!\cdot 14!\cdot 20!\cdots 182!}{(6!\cdot 2!)\cdot (6!\cdot 8!)\cdot (6!\cdot 14!)\cdots (6!\cdot 176!)}=\dfrac{182!}{2\cdot (6!)^{20}}$$

Buradan $\dfrac{101B}{181A}=91\cdot 101$  bulunur.  $91\cdot 101\equiv2(mod9)$  olduğundan bu şartı sağlayan tek şık $E$ olduğundan çarpmaya gerek yoktur.