2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[Metin Can Aydemir]

$a_n$ ve $b_n$, $x^2+2(4n-1)x+4n^2=0$ denkleminin kökleridir. Buna göre, $$S=\dfrac{2}{(a_3+1)(b_3+1)}+\dfrac{2}{(a_4+1)(b_4+1)}+\cdots +\dfrac{2}{(a_{20}+1)(b_{20}+1)}$$ toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{37} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{9}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{4}{13} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{14} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{14}{5}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Vieta formüllerinden $a_n + b_n = 2 - 8n $ ve $a_nb_n = 4n^2$ dir. Ayrıca

$ (a_n+1)(b_n +1)=a_nb_n  + a_n+b_n +1 = 4n^2 -8n +3 = (2n-1)(2n-3) \tag{1}$
eşitliği vardır. $(1)$ eşitliğini kullanarak
$$ S=\sum_{n=3}^{20}\dfrac{2}{(a_n+1)(b_n +1)} = \sum_{n=3}^{20}\left( \dfrac{1}{2n-3} - \dfrac{1}{2n-1} \right) \tag{2} $$
teleskopik toplamı elde edilir. Buradan kolayca $S=\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{39}=\dfrac{4}{13}$ değeri hesaplanır.


Not: Ayrıca problemin video çözümü buraya eklenmiştir.