2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[Metin Can Aydemir]

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ reel sayıları, $x^4=2y^4+x^2y^2$ eşitliğini sağlyorsa, $\dfrac{7x^2+4y^2}{2x^2-y^2}$ oranının değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$x^4 -x^2y^2-2y^4=0$ ifadesini çarpanlara ayırırsak $(x^2+y^2)(x^2-2y^2)=0$ olur. $x,y$ sıfırdan farklı reel (gerçel) sayılar olarak verildiğinden $x^2+y^2>0$ dır. O halde $x^2-2y^2=0$ olmalıdır. $\dfrac{7x^2+4y^2}{2x^2-y^2}$ oranında $x^2=2y^2$ yazılırsa $\dfrac {14y^2+4y^2}{4y^2-y^2} = \dfrac {18}{3} = 6 $ elde edilir.

Not: Ayrıca problemin video çözümü buraya eklenmiştir.