2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[Lokman Gökçe]

Yukarıdaki $\triangle ABC$ üçgeninin, iç bölgesindeki üçgenlerin alanları, $A(AFD)=1$, $A(ABF)=2$, $A(BEF)=3$ olarak veriliyor. Buna göre $CDFE$ dörtgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 26  \qquad\textbf{c)}\ 21 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 25 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$K \in BC $ olmak üzere $DK \parallel AE$ doğrusunu çizelim. Aynı yüksekliğe sahip üçgenlerde tabanlar oranı ile alanlar oranı arasındaki eşitlikten dolayı $|DF|=x$ dersek $|BF|=2x$ olur. Yine $|AF|=4y$ dersek $|FE|=6y $ olur. $BFE \sim BDK $ benzerliğinden $|DK|=9y$ dir. $|AE|=4y+6y=10y $ dir. $AEC \sim DKC $ benzerliğinden dolayı $|AD|=z$ denirse $|DC|=9z$ olur. $\dfrac{Alan(ABD)}{Alan(CBD)}=\dfrac{z}{9z}$ olup $Alan(CBD) = 27$ dir. Böylece $Alan(CDFE)=27-3=24$ elde edilir.


Not: Ayrıca problemin video çözümü buraya eklenmiştir.

[geo]

$\triangle BEF$ üçgeninde $A$, $D$, $C$ doğrusal noktaları için Menelaus uygularsak $$ \dfrac{BD}{DF} \cdot \dfrac{FA}{AE} \cdot \dfrac{EC}{BC} = 1 \Rightarrow \dfrac{BC}{EC} = \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5} \Rightarrow \dfrac{EC}{BE} = 5 $$ $$[AEC] = 5\cdot [ABE] = 25 \Rightarrow [CDFE] = 24$$

[Seyit Çetin]

1.soru