Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 08

[Squidward]

$1,2,\ldots,27$ sayıları ile numaralandırılmış $27$ top, $1,2,\ldots,27$ sayıları ile numaralandırılmış $27$ kutuya her bir kutuda bir top bulunacak şekilde dağıtılacaktır. Her bir top için topun numarası bulunduğu kutunun numarasının iki katını geçmeyecek şekilde bu dağılım kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 13!\cdot 14! \qquad\textbf{b)}\ 14! \cdot 14!  \qquad\textbf{c)}\ 2\cdot 14! \cdot 15! \qquad\textbf{d)}\ 9! \cdot 14! \cdot 14! \qquad\textbf{e)}\ 9! \cdot 9! \cdot 9!$

[muuurat]

$Yanıt: B$
$1.$ kutuya $1,2$ no'lu
$2.$ kutuya $1,2,3,4$ no'lu
$3.$ kutuya $1,2,3,4,5,6$ no'lu
...
...
...
$13.$ kutuya $1,2,3,4,5,6,...,25,26$ no'lu
$14.$ kutuya $1,2,3,4,5,6,...,25,26$ no'lu
$15.$ kutuya $1,2,3,4,5,6,...,25,26$ no'lu
...
...
...
$26.$ kutuya $1,2,3,4,5,6,...,25,26$ no'lu toplar konulabilir. $1.$ kutudan başlayalım. $2.3.4.5.....14.14.13.....2=14!.14!$bulunur.

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Cevap: $14! \cdot 14!$.

$1$ numaralı top sadece $1$ ve $2$ numaralı kutulara yerleştirilebilir. $2$ numaralı top sadece $1,2,3$ ve $4$ numaralı kutulara yerleştirilebilir, bu sayılardan birinde $1$ numaralı top olduğuna göre, $3$ seçenek bulunuyor. Benzer şekilde devam edersek, $i=3,4, \ldots, 13$ olmak üzere, $i$ numaralı topu $i+1$ farklı şekilde yerleştirebiliriz. Bundan sonra her top herhangi bir boş kutuya yerleştirilebilir. Buna göre cevap $14! \cdot 14!$ olur.

Kaynak: Tübitak 27. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2019