Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

Bir kenarı $12$ olan $ABCD$ karesinde $|AE|=3, |AF|=4$ olacak şekilde $AB$ ve $AD$ kenarları üzerinde sırasıyla $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. Kare içinde bir tabanı $EF$ ve diğer tabanın köşeleri $BC$ ve $DC$ kenarları üzerinde olan en büyük alana sahip yamuğun alanı kaçtır? 

$
\textbf{a)}\ 76
\qquad\textbf{b)}\ 74
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{147}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 73
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{145}{2}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed C$

Kareyi $D$ noktası orijin ve $AD$ kenarı $y$ ekseninde, $DC$ kenarı $x$ ekseninde olacak şekilde koordinat düzlemine taşıyalım. Yamuğun diğer tabanı $M$, $DC$ üzerinde ve $N$, $BC$ üzerinde olmak üzere $MN$ olsun. $MN//EF$ olduğundan $|MC|=3k$ ve $|NC|=4k$ olur.

Yamuğun köşe koordinatları $E(3,12), F(0,8), M(12-3k,0), N(12,4k)$ olur. Köşeleri $(a,b),(c,d),(e,f)$ olan üçgenin alanı $\dfrac{1}{2} \cdot |(ad+cf+ab)-(bc+ed+af)|$ dir. Eğer $S(EFMN)=S(EFM)+S(EMN)$ yazarsak,
$$S(EFM)=\dfrac{1}{2} \cdot |8(12-3k)-(24+12(12-3k))|=6|6-k|=6(6-k)$$ $$S(EMN)=\dfrac{1}{2} \cdot |(144-24k)-(-12k^2+48k+144)|=6k|k-6|=6k(6-k)$$ $$\Rightarrow S(EFMN)=6(6-k)+6k(6-k)=6(k+1)(6-k)$$ olur. $min{S(EFMN)}$ için $k+1=6-k \Rightarrow k=\dfrac{5}{2}$ olmalı.Buradan $min{S(EFMN)}=\dfrac{147}{2}$ bulunur.