Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 05

[Metin Can Aydemir]

$7$ kişi, zemin katta bulunan bir asansöre binip, her katta en az bir kişi inecek şekilde dört kat çıkıyor ve dördüncü katta asansör tamamen boşalıyor. Bu asansör kaç farklı şekilde kullanılır?

$
\textbf{a)}\  8400
\qquad\textbf{b)}\ 8449
\qquad \textbf{c)}\ 8456
\qquad \textbf{d)}\ 9114
\qquad\textbf{e)}\ 9149
$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed A$

Soruyu matematiğe dökelim. Katlar $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4}$ olmak üzere, bizden istenen şey.

$ \sum _{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}= 7} \left( \begin{matrix} 7\\x_{1} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 7-x_{1}\\ x_{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 7-x_{1}-x_{2}\\ x_{3}\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 7-x_{1}-x_{2}-x_{3}\\ x_{4}\end{matrix} \right) $

Olacaktır.

 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}= 7 $ denklemini sağlayan $\left( \begin{matrix} 6\\ 3\end{matrix} \right) = 20 $ tane pozitif tamsayı vardır. Pozitif tamsayı seçeceğiz çünkü her katta mutlaka bir kişi iniyor. Bu denklemi sağlayan sayıları bulalım.

 $4,1,1,1 $ ve bunun permütasyonları  $4!/3! = 4 $ tanedir.

 $1,2,3,1 $ ve bunun permütasyonları  $4!/2! = 12 $ tanedir.

 $2,2,2,1 $ ve bunun permütasyonları  $4!/3! = 4 $ tanedir. 20 tane çözümü tamamladık. O halde hesaba geçelim.

 $4.\left( \begin{matrix} 7\\4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3\\ 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1\\ 1\end{matrix} \right) = 4.210 = 840$

$12.\left( \begin{matrix} 7\\1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6\\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4\\ 3\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1\\ 1\end{matrix} \right) = 12.420 = 5040$

$4.\left( \begin{matrix} 7\\2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5\\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1\\ 1\end{matrix} \right) = 4.630 = 2520$

$840 + 5040 + 2520 = 8400$