permütasyon fonksiyonunun bileşkesi

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe):

$A= \{1, 2, \dots , 10\}$ olmak üzere $f:A \to A$ biçimindeki bir $f$ permütasyon fonksiyonunda $\underbrace {fofo \cdots of}_{ n \text { tane}}=I$ olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tamsayısı en fazla kaç olabilir? (Burada $I$, $A$ kümesi üzerinde tanımlı birim fonksiyondur ve $o$, fonksiyonlardaki bileşke işlemini göstermektedir).

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 21
\qquad\textbf{d)}\ 30
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Aranan $n$ değerine $f$ fonksiyonunun mertebesi dendiğini hatırlattıktan sonra kullanacağımız teoremleri ifade edelim:

Teorem 1: Her permütasyon fonksiyonu ya bir döngüdür (cycle) ya da ayrık döngülerin bileşkesidir.

Teorem 2: Bir $f$ permütasyon fonksiyonunun mertebesi, $f$ yi oluşturan ayrık döngülerin uzunluklarının en küçük ortak katıdır.

Bu teoremlere göre $f$ yi oluşturan $f=g_1 o g_2 o \cdots o g_k$ ayrık döngülerin uzunluklarının sırasıyla $m_1$, $m_2$, ... , $m_k$ olduğunu düşünelim. $m_1 + m_2 + \cdots + m_k=10$ olmalıdır. $OKEK(m_1 , m_2 , \dots , m_k)$ değerinin en büyük olması için $m_1=2$, $m_2=3$, $m_3=5$ seçilebilir. Böylece $n=2\cdot 3 \cdot 5 = 30$ olur. Bu duruma örnek bir fonksiyon

$$ f = \left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 2 & 1 & 4 &  5 & 3 & 7 & 8 & 9 & 10 & 6 \end{array} \right)$$

verilebilir.