POLİNOM {çözüldü}

[osmanekiz]

....

[Lokman Gökçe]

f(k) = 1/k oluşundan dolayı (k,1/k) noktası, polinomun üzerinde olmakla beraber aynı zamanda g(x) = 1/x eğrisinin de üzerindedir. g(x) = f(x) denkleminin  [1,2007] aralığında en az bir çözümü olduğu bilgisine sahibiz. başka da bir bilgiye sahip değiliz. verilenlerle soru çözülemez. mesela f(x) = x²⁰⁰⁶ için k = 1 olup problemin hipotezleri de sağlanmaktadır. f(2008) = 2008²⁰⁰⁶ olur. fakat f(x) = x²⁰⁰⁶ - 1 polinomu da problemdeki hipotezleri saplamaktadır. yani x²⁰⁰⁶ - 1 = 1/x denklemini sağayan 1 den az büyük bir sayı vardır.(kabaca bir grafik çizimiyle de görülebilir) yani f(x) = x²⁰⁰⁶ - 1 de olabilir. bundan başka f(x) = x²⁰⁰⁶ - 2 de oluyor...

bi sürü çözüm var. bu verilerle bu soru çözülemez.

[senior]

mesela f(x) = x²⁰⁰⁶ için k = 1 olup problemin hipotezleri de sağlanmaktadır.

Burası bana pek doğru gelmedi. Bu arada k tamsayımı acaba?

[Lokman Gökçe]

yani diyorum ki aranan f(x) polinomlarından birisi f(x) = x²⁰⁰⁶ dır. 1 < k < 2007 şeklindeki bir k sayısı için de f(k) = 1/k olacakmış. işte k = 1 dir. f(1) = 1 /1 oluyor. k = 1 değerinin tamsayı olup olmaması hakkında birşey söylenmemiş, tamam. bu durumda k sayısını reel sayı olarak anlarız. k = 1 hem reel sayısıdır hem de tam sayıdır. k için tamsayıdır diye kısıtlama verilse de verilmese de her iki duruma da uyan bir sayı bulduk. sonuç olarak f(x) = x²⁰⁰⁶ olmaması için hiçbir sebep yok. ama verilere uygun bambaşka polinomlar da yazlıabilir. açık bir şekilde, verilen şartlar problemin tek türlü çözülebilmesi için yeterli değildir. bence, sorunun yanlışlığı üzerinde şüpheye düşecek bir durum bile yok. tatmin edici bir cevap verebildim mi bilemiyorum. takıldığınız noktayı biraz daha açarsanız, yanlış gördüğünüz yeri biraz daha açıklarsanız sorunu kolayca aşarız. ( belki de sorunun tercümesinde bir hata vardır, bu hakkımı saklı tutuyorum)

[Lokman Gökçe]

Soru [Düzeltilmiş]:$f$, $2006.$ dereceden bir polinom ve her $1\leq k \leq 2007$ tam sayısı için $f(k)=\dfrac{1}{k}$ olduğuna göre, $f(2008)$ kaçtır?


Orijinal problemde $k$ nın tam sayı olduğu verilmemişti ve her $k$ tam sayısı için eşitliğin sağlandığı da söylenmiyordu. Sanki $1\leq k \leq 2006$ aralığındaki yalnız bir $k$ reel sayısı için $f(k)=\dfrac{1}{k}$ sağlanıyor gibi anlaşılıyordu ve o şekliyle soru hatalı oluyor.  Ya da her bir $k$ reel sayısı için $f(k)=\dfrac{1}{k}$ sağlanıyorsa, $f$ bir polinom olmuyordu. $14$ yıl önce gereksiz bir acı çektiğimizi görüyorum. Şimdi soruya tekrar baktım ve uygun bir düzeltme aklıma geldi. Düzeltilmiş biçimini artık çözebiliriz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $P(x)=xf(x)-1$ polinomunu tanımlayalım. $\text{der}(P)=2007$ dir. $1,2,\dots, 2007$ tam sayıları $P$ nin kökleri olduğundan $$P(x)=a(x-1)(x-2)\cdots (x-2007)$$
biçiminde çarpanlara ayırabiliriz. Ayrıca $P(0)=-1$ olduğundan $a= \dfrac{1}{2007!}$ dir.

Şimdi $x=2008$ de için $P(2008)=\dfrac{1}{2007!}\cdot 2007! =1$ ve $P(2008)=2008f(2008)-1$ olup $f(2008)= \dfrac{1}{1004}$ elde edilir.