Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1988 Soru 3  (Okunma sayısı 2681 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1988 Soru 3
« : Ağustos 07, 2013, 08:42:09 ös »
$0<q<200$ ve $\dfrac{59}{80} < \dfrac{p}{q} <\dfrac{45}{61}$ koşullarını sağlayan bir $(p,q)$ tamsayı çifti bulunuz ve böyle tek bir $(p,q)$ tamsayı çifti olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 09, 2014, 01:08:07 öö Gönderen: ERhan ERdoğan »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: 3
« Yanıtla #1 : Ağustos 30, 2013, 08:23:42 ös »
Önce şunu fark edelim:
$$ \dfrac ab < \dfrac {a+c}{b+d} < \dfrac cd$$
Önce soldaki eşitsizliği taraf tarafa çarpınca $ab+ad < ab + bc \Rightarrow ad < bc$,
Sonra sağdaki eşitsizliği taraf tarafa çarptığımızda $ad+cd < bc+cd \Rightarrow ad < bc$ elde ederiz ki bu da $\dfrac ab < \dfrac cd$ den dolayı açık.
Bu mantıkla $\dfrac{59}{80} < \dfrac{59+45}{80+61} = \dfrac {106}{141} <\dfrac{45}{61}$ olacaktır.

İddia: $bc-ad = 1$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d, p, q$ pozitif tam sayıları için $$ \dfrac ab < \dfrac pq < \frac cd$$ olabilmesi için
  • $q \geq b+d$
  • $q = b+d \Longrightarrow p = a+c$
  • $q>b+d \Longrightarrow q \geq b+d + \min (b,d)$
olması gerekir.

İspat:
  • Soldaki eşitsizlik $0 < \dfrac pq - \dfrac ab = \dfrac {bp-aq}{bq}$ şeklinde yazılabilir. Paydası $bq$ olan en küçük kesir $\dfrac {1}{bq}$ olduğu için bir önceki eşitsizliği $0 < \dfrac {1}{bq} \leq \dfrac {bp-aq}{bq} = \dfrac pq - \dfrac ab$ olacaktır.
    Aynılarını sağ taraf için yaparsak $0 < \dfrac cd - \dfrac pq = \dfrac {cq - dp}{dq}$, paydası $dq$ olan en küçük kesirden $ 0 < \dfrac {1}{dq} \leq \dfrac {cq - dp}{dq} = \dfrac cd - \dfrac pq$ olur.
    Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak $ \dfrac {1}{bq} + \dfrac {1}{dq} \leq \dfrac cd - \dfrac ab = \dfrac {bc-ad}{bd} = \dfrac 1{bd}$ elde ederiz. Biraz düzenlemeyle $\dfrac {b+d}{bdq} \leq \dfrac {1}{bd} \Rightarrow b+d \leq q$ olacaktır.


  • $q = b+d$ yazıp eşitsizlikleri $p$ ye göre $ \dfrac {a(b+d)}{b} < p < \dfrac {c(b+d)}{d}$ şeklinde düzenleyip sol taraf için $ad = bc - 1$ şeklinde sağ taraf için de $bc = ad + 1$ şeklinde değişken değiştirirsek $$\dfrac {ab + bc - 1}{b} = a+c - \dfrac 1b< p < \dfrac {ad + 1 + cd}{d} = a+ c + \dfrac 1d$$ elde ederiz. Son eşitsizliği şöyle yeniden yazabiliriz: $$ a + c -1 < a+c - \dfrac 1 b < p < a+c + \dfrac 1d < a+c +1.$$ $a+c-1$ ile $a+c+1$ arasındaki tek tam sayı $a+c$ olacağından $q=b+d \Longrightarrow p=a+c$ bulunur.

  • $\frac pq$ kesrini yine tam sayılı kesir olması için en $2$ ile genişletmemiz gerekir. Bu durumda $q=b+d$ ise, genişletildiğinde $q' = 2b+2d$ olacaktır. Bu kesrin haricinde $\dfrac ab$ ile $\dfrac cd$ arasında başka kesirler de var. $$\dfrac ab < \dfrac {p_1}{q_1} <  \dfrac {a+c}{b+d} < \dfrac {p_2}{q_2} < \dfrac cd $$ $(b+d)c-(a+c)d = 1$ ve $(a+c)b-(b+d)a = 1$ olduğu için $(a)$ şıkkı gereği $q_1 \geq b + (b+d)$ ve $q_2 \geq d+ (b+d) $ olacaktır.
    Bu durumda $q', q_1, q_2$ sayılarından en küçüğü $q = b+d + \min (b,d)$ olacağı için $q>b+d$ ise bir sonraki $q$ tam sayısı $b+d + \min (b,d)$ ye eşit olacaktır.
$\blacksquare$

Bu durumda $a=59$, $b=80$, $c=45$, $d=61$ için $bc - ad = 3600 - 3599 = 1$ olduğu için söz konusu iki kesrin arasındaki $\dfrac pq$ kesrinde $q$ en az $80+61 = 141$ oluyor. $q=141$ olduğunda da $p=59+45=106$ oluyor. Bir sonraki bu şartları sağlayan en küçük $q$ değeri $q = 80+61+61 = 202$ olacağından $0<q<200$ aralığında tek çözüm $(141,106)$ dır.

Not:
Soruda uyguladığımız lemma IberoAmerican 1988/2'de karşımıza çıkıyor.

Biraz farklısının daha genel hali de 1991 Aralık/4'te sorulmuş.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:10:18 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal