Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1992 Soru 6  (Okunma sayısı 2842 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1992 Soru 6
« : Ağustos 07, 2013, 08:14:06 ös »
Hiçbir $n$ pozitif tam sayısı için $$n^4+3n^2+1$$ sayısının bir tam kare olmadığını gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 09, 2014, 01:06:58 öö Gönderen: ERhan ERdoğan »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: 6 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 10, 2013, 09:17:16 ös »
(Lokman GÖKÇE)

Sıkıştırma yöntemiyle problemi kolayca çözebiliriz. Başlayalım: $n$ ve $m$ birer pozitif tamsayı olmak üzere $n^4 + 3n^2 +1 = m^2$ olduğunu varsayalım.

$(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1 < n^4 + 3n^2 +1$ ve $(n^2+2)^2 = n^4 + 4n^2 + 4 > n^4 + 3n^2 +1$ olduğundan $(n^2+1)^2 < n^4 + 3n^2 +1 < (n^2+2)^2$ yazılır. $(n^2+1)^2 < m^2 < (n^2+2)^2$ eşitsizliğinden $n^2+1 < m < n^2+2$ bulunur. $n^2+1$ ve $n^2+2 $ ardışık tamsayılarının arasından bir başka $m$ tamsayısı olamaz.

Sonuç olarak, hiçbir $n$ pozitif tamsayısı için $n^4 + 3n^2 +1$ sayısı bir tam kare olamaz.
« Son Düzenleme: Eylül 15, 2013, 11:01:00 öö Gönderen: bosbeles »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal