Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1991 Soru 3  (Okunma sayısı 3149 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1991 Soru 3
« : Ağustos 07, 2013, 08:03:21 ös »
$x, y, z$ reel sayıları, $$x+y=z-1$$ $$xy = z^2 - 7z +14$$ denklemlerini sağlıyorsa
$x^2+y^2 \leq 8$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 09, 2014, 01:10:45 öö Gönderen: ERhan ERdoğan »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: 3
« Yanıtla #1 : Ağustos 09, 2013, 08:39:35 ös »
(Lokman GÖKÇE)

Değişken sayısını azaltmak için ikinci denklemde $z=x+y+1$ koyalım: $xy=(x+y+1)^2-7(x+y+1)+14$ olup buradan $$x^2+y^2-5(x+y)+xy+8=0 \tag {1}$$ denklemine ulaşırız. Burada $x=a+b$, $y=a-b$ değişken değiştirmesi yaparsak $x^2+y^2=2(a^2+b^2)$, $xy=a^2-b^2$ ve $x+y=2a$ olur. Bu değerleri $(1)$ denkleminde yazarsak $$3a^2+b^2+10a+8=0 \tag {2}$$ buluruz. Problemin bu aşamadan sonrasını analitik düzlemde düşünelim:

$(2)$ denklemi bir elips belirtir. Bu elipsin simetri merkezi $a$ ekseni üzerindedir ve asal-yedek eksenleri koordinat eksenlerine paraleldir. $\dfrac43 \leq a \leq 2 $ olduğunu görmek kolaydır. (elipsin yatay $a$ eksenini kestiği noktaları saptamak için $b=0$ yazın) Biz $a^2+b^2$ toplamının max değerini arıyoruz. $a^2+b^2= -2a^2 +10a - 8$ dersek $\dfrac43 \leq a \leq 2 $ aralığında $ f(a)=-2a^2 +10a - 8$ parabolü artandır ve $a_2=2 $ için $x=y=2$ olup $x^2+y^2=8$ en büyük değerine ulaşır.

NOT: $x^2+y^2$ toplamının en küçük değeri istenseydi  $a_1=\dfrac43 $ için $x=y=\dfrac43 $ olup $x^2+y^2 = \dfrac{32}{9}$ elde edilirdi.
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 09:07:56 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: 3 - Tashih edildi
« Yanıtla #2 : Ağustos 17, 2013, 11:33:20 öö »
(Burak VARICI)

$x+y = z-1$ ve $xy=z^2-7z+14$ verilerinden $x^2+y^2\leq 8$ ifadesini ispatlamamız isteniyor. $$(x+y)^2=z^2-2z+1\geq 4xy=4z^2-28z+56$$ $$\Rightarrow 3z^2-26z+55 = (3z-11)(z-5) \leq 0$$ ifadesinden $z\in \left [ \frac {11}3, 5 \right ]$ buluruz. $(x+y)^2- 2xy = x^2+y^2 = -z^2 + 12z - 27 = (9-z)(z-3)$ eşitliğinde $z=6-k$ şeklinde değişken değiştirirsek ($\frac {11}3 \leq z \leq 5 \Rightarrow k \geq 1$ ) $x^2+y^2 = (3-k)(3+k)=9-k^2 \leq 8$ bulunur.
« Son Düzenleme: Eylül 15, 2013, 10:57:17 öö Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal