Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 5  (Okunma sayısı 2910 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 5
« : Ağustos 06, 2013, 04:43:45 öö »
Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$ \dfrac{(b+c)(a^{4}-b^{2}c^{2})}{ab+2bc+ca}+\dfrac{(c+a)(b^{4}-c^{2}a^{2})}{bc+2ca+ab}+\dfrac{(a+b)(c^{4}-a^{2}b^{2})}{ca+2ab+bc}\ge 0$$ olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:39:38 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: 5
« Yanıtla #1 : Ağustos 24, 2013, 01:24:11 ös »
$\sum{\dfrac{(b+c)(a^4-b^2c^2)}{ab+2bc+ca}\ge 0}\Leftrightarrow \sum{\dfrac{a^4b+a^4c-b^3c^2-b^2c^3}{ab+2bc+ca}}\ge 0\Leftrightarrow \sum{\dfrac{a^4b+a^4c}{ab+2bc+ca}}\ge \sum{\dfrac{b^3c^2+c^3b^2}{ab+2bc+ca}}$ sağlanır. Bu son eşitsizliği ispatlayalım.

Genelliği bozmadan $a\ge b\ge c$  kabul edebiliriz.

Bu durumda $\dfrac{1}{ab+2bc+ca}\ge \dfrac{1}{bc+2ca+ab}\ge \dfrac{1}{ca+2ab+bc}$ sıralamasının doğru olduğu açıktır. Ayrıca $a(b+c)\ge b(a+c)\ge c(a+b)$ olduğundan, $a^4(b+c)\ge b^4(a+c)\ge c^4(a+b)$ eşitsizliği de sağlanır. Dolayısıyla Chebishev  Eşitsizliği'nden

$\sum{\dfrac{a^4b+a^4c}{ab+2bc+ca}}\ge \dfrac{1}{3}(a^4b+a^4c+b^4a+b^4c+c^4a+c^4b)\sum{\dfrac{1}{ab+2bc+ca}}$ elde edilir.

Benzer şekilde $a^3b^2+a^2b^3\ge c^3a^2+a^3c^2\ge b^3c^2+c^3b^2$ olduğundan, yine Chebishev  Eşitsizliği'ni kullanarak

$\sum{\dfrac{b^3c^2+c^3b^2}{ab+2bc+ca}}\le \dfrac{1}{3}(a^3b^2+b^3a^2+b^3c^2+c^3b^2+c^3a^2+a^3c^2)\sum{\dfrac{1}{ab+2bc+ca}}$  olarak bulunur.

Son iki eşitsizlikten,  $\dfrac{1}{3}\sum{a^4b}\sum{\dfrac{1}{ab+2bc+ca}}\ge \dfrac{1}{3}\sum{a^3b^2}\sum{\dfrac{1}{ab+2bc+ca}}\Leftrightarrow \sum{a^4b\ge }\sum{a^3b^2}$ olduğunu ispatlamak yeterlidir. Son olarak Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'ni kullanarak:
$$\left(\sum{a^4b}\right).\left(\sum{a^3b^2}\right)=\left(a^4b+a^4c+b^4a+b^4c+c^4a+c^4b\right)\left({b^3a^2+c^3a^2+a}^3b^2+c^3b^2+a^3c^2+b^3c^2\right)$$ $$\ge {\left(a^3b^2+b^3a^2+b^3c^2+c^3b^2+c^3a^2+a^3c^2\right)}^2={\left(\sum{a^3b^2}\right)}^2$$
ve dolayısıyla $\sum{a^4b\ge }\sum{a^3b^2}$ bulunur, ispat biter.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:08:06 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal