Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 4  (Okunma sayısı 2437 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 04:43:32 öö »
Dar açılı $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve $A,B,C$ köşelerine ait yüksekliklerinin ayakları da, sırasıyla $ A_{1},B_{1},C_{1}$ dir. $K$, $[AB]$ çaplı çemberin küçük $AB_{1} $ yayı üstünde yer alan ve $m(\widehat{HKB})=m(\widehat{C_{1}KB})$ koşulunu sağlayan bir nokta ve $\lbrack KB\rbrack \cap \lbrack CC_{1}\rbrack =\lbrace L\rbrace $ olmak üzere; $C$ merkezli ve $\lbrack CL\rbrack $ yarıçaplı çember $\lbrack AA_{1}\rbrack $ i $M$ noktasında kesiyor. $ B$ merkezli ve $[BM]$ yarıçaplı çemberin $CC_{1}$ doğrusunu kestiği noktalar $P$ ve $Q$ ise, $A,K,P$ ve $Q$ noktalarının çemberdeş olduğunu kanıtlayınız.

(Hasan Hüseyin Eruslu)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:39:15 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 24, 2013, 01:22:14 ös »
$A,C_1,H,B_1$ çembersel olduğundan $\angle LHB=A$ olur. $A,B,B_1,K$ çembersel olduğundan $\angle BKB_1=\angle BAB_1=A$ öyleyse $\angle LHB=\angle BKB_1$ dir. Yani $L,K,B_1,H$ çemberseldir. $\angle AC_1L=\angle AB_1B=\angle AKL=90^\circ$ olduğundan $A,C_1,L,K$ çemberseldir. Öyleyse; $\angle C_1AL=\angle C_1KL=\angle LKH=\angle LB_1H$ dır. $\angle ALC=90^\circ+\angle C_1AL$ ve $\angle LB_1C=90^\circ+\angle LB_1H$ dır.

Yani $\angle ALC=\angle LB_1C$ dir. Böylece $ALC$ ve $LB_1C$ üçgenleri benzerdir. Benzerlikten; ${CL}^2=CB_1\cdot CA$ elde edilir. $B,A,B_1,A_1$ çembersel olduğundan ${CB}_1\cdot CA=CA_1\cdot CB$ ve $CM=CL$ olduğundan ${CM}^2=CB\cdot CA_1$ elde edilir. Dolayısıyla Öklid'den $\angle BMC=90^\circ$ bulunur. $BP=BM$ ve $C,A,C_1,A_1$ çemberselliğinden ve Öklid'den ${BP}^2={MB}^2=BA_1\cdot BC=BA\cdot BC_1$ bulunur. Dolayısıyla Öklid'den $\angle BPA=90^\circ$ olur ve aynı şekilde $\angle BQA=90^\circ$ olur. Yani $A,K,P,Q$ noktaları çemberseldir.
« Son Düzenleme: Eylül 15, 2013, 10:23:53 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal