Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 2  (Okunma sayısı 2335 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2009 Soru 2
« : Ağustos 06, 2013, 04:43:04 öö »
$\Gamma $, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi; $D$ ve $E$ de, sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde köşelerden farklı noktalar olsun. $A'$, $\widehat{BAC}$ nin açıortayının $\Gamma $ yı ikinci kez kestiği nokta; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla $A'D$ ve $A'E$ doğrularının $\Gamma $ yı ikinci kez kestiği noktalar olsun. $R$ ve $S$ sırasıyla $APD$ ve $AQE$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $AA'$ doğrusunu ikinci kez kestikleri noktalar ise; $DS$ ve $ER$ doğrularının, $\Gamma$ ya $A$ da teğet olan doğru üstünde bir noktada kestiğini gösteriniz.

(Serhat Doğan)
« Son Düzenleme: Kasım 13, 2013, 02:38:19 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: 2 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 11, 2013, 10:57:22 öö »
(Eren DURLANIK)

LEMMA:
$x,\ y,\ z,\ t$  pozitif açıları $x+y=z+t<180$  ve $\dfrac{\sin\ x}{\sin\ y}=\dfrac{\sin\ z}{\sin\ t}$  şartını sağlıyor ise;$x=z$  ve $y=t$  olmalıdır.

İSPAT:
Eşitlikten ötürü $\sin\ x.\sin\ t=\sin\ y.\sin\ z$  dir. Öyleyse açı formüllerinden ötürü $cos(x-t)-cos(x+t)=cos(y-z)-cos(y+z)$ sağlanır. Ayrıca $x-t=z-y$  olduğundan $cos(x-t)=cos(y-z)$ ve dolayısıyla $cos(x+t)-cos(y+z)=0$  olur.

Öyleyse; $2\ \sin\left(\dfrac{x+t-y-z}{2}\right)\sin(\dfrac{x+y+z+t}{2})=0$ dır. $\dfrac{x+y+z+t}{2}<180$  olduğundan $\sin(\dfrac{x+y+z+t}{2})\ne 0$  yani $\sin(\dfrac{x+t-y-z}{2})=0$  olmalıdır. Öyleyse $x+t=y+z$  olmalı ve $x+y=z+t$  olduğundan; $x=z$  ve  $y=t$  sağlanmalıdır, Lemma ispatlandı.

Şimdi sorumuza dönelim.

$A,\ Q,\ S,\ E$  çembersel olduğundan $\angle SQE=\dfrac{A}{2}$  dır. Ayrıca $A,Q,A',B$ noktaları da çembersel olduğundan $\angle BQE=\dfrac{A}{2}$  olmalıdır. Dolayısıyla $Q,S,B$  doğrusaldır, aynı şekilde $P,R,C$  noktaları da doğrusaldır. Çembersellikten $\angle AQB=\angle ACB=\angle AES=C$  dir. Yani $SE\parallel BC$  ve aynı şekilde $DR\parallel BC$  bulunur.

$ABC$  üçgeninin çevrel çemberine  $A$  noktasından çizilen teğetle $ER$ doğrusu $M$  noktasında kesişsin. $M$, $S$  ve $D$  noktalarının doğrusal olduğunu göstermemiz yeterlidir. $\angle SER=\angle QRM=\alpha$  olsun. $ARM$ üçgeninde $D$ noktasına göre ve $AEM$ üçgeninde $S$ noktasına göre Trigonometrik Ceva yaparsak:

$\dfrac{\sin(\angle AMD)}{\sin(\angle DMR)}=\dfrac{\sin\ C.\sin\ (C+\dfrac{A}{2})}{\sin\ \dfrac{A}{2}.\ \ \sin\ \alpha}$  ve $\dfrac{\sin\ (\angle SMA)}{\sin\ (\angle SMR)}=\dfrac{\sin\ C.\sin\ (C+\dfrac{A}{2})}{\sin\ \dfrac{A}{2}.\ \ \sin\ \alpha}$  bulunur. Buradan  $\dfrac{\sin(\angle AMD)}{\sin(\angle DMR)}=\dfrac{\sin\ (\angle SMA)}{\sin\ (\angle SMR)}$  elde edilir. $\angle AMD+\angle DMR=\angle SMA+\angle SMR$  olduğundan Lemma'dan ötürü $\angle AMD=\angle SMA$  ve $\angle DMR=\angle SMR$  bulunur.

Yani $M,\ S$ ve $D$ noktaları doğrusal olur ve ispat tamamlanır.
« Son Düzenleme: Haziran 30, 2014, 02:48:44 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal