Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 6  (Okunma sayısı 3216 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 6
« : Ağustos 06, 2013, 04:33:11 öö »
$m\times n$ bir satranç tahtasının her birim karesine $0$ ya da $1$ yazılarak elde edilen bir yazılıma, $0$ ve $1$ lerin sayısı eşitse, eşit bir yazılım diyoruz. $a$ gerçel bir sayı olmak üzere, $m$ satır ve $n$ sütunun her biri için, o satır ya da sütun içindeki $1$ lerin yüzdesi $a$ dan küçük ya da $100-a$ dan büyük olmayacak şekilde bir eşit yazılımı olanaklı kılan $m$ ve $n$ sayıları bulunuyorsa, $a$ ya güzel sayı diyoruz. En büyük güzel sayıyı bulunuz.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 12:41:41 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 6 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 17, 2013, 11:45:01 ös »
(Sinan KARAL)

İddiamız en büyük güzel sayının $75$ olduğudur. $75$ için örnek şekildeki gibidir.Her satır ve sütunda ya bir tane $1$ ya da üç tane $1$ vardır, yani $1$'lerin oranı hep ya $\leq \% 25$ ya da $\geq \% 75$ tir.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}
$$
Varsayalım bir $a>75$ güzel sayı olsun. Bir $m$ ve $n$ için de $m$ x $n$ satranç tahtasını $1$ ve $0$ lar ile kaplamış olalım. Tam olarak $m_1$ satırda $1$ lerin yüzdesi $\geq a$ ve tam olarak $m_2=m-m_1$ satırda da $1$ lerin yüzdesi $\leq 100-a$ olsun. Benzer şekilde $n_1$ ve $n_2$ sayılarını sütunlarda tanımlayalım. Genelliği bozmadan, $m_2 \geq m_1$ varsayabiliriz çünkü $0$ ve $1$ lerin yazılımı birbirine göre simetriktir.
$1$ lerin yüzdesi $\leq 100-a$ olan $n_2$ sütundaki $1$ lerin toplam sayısı $\leq \dfrac{(100-a).n_2m}{100} < \dfrac{n_2(m_1+m_2)}{4}$
Diğer taraftan, bu yazılım eşit olduğu için tüm tahtadaki $1$ lerin toplam sayısı :  $\dfrac{mn}{2}= \dfrac{(m_1+m_2)(n_1+n_2)}{2}$ dir. Demek ki kalan $n_1$ sütunda :
$$\dfrac{(m_1+m_2)(n_1+n_2)}{2} - \dfrac{n_2(m_1+m_2)}{4}= \dfrac{(2n_1+n_2)(m_1+m_2)}{4}$$
den fazla sayıda $1$ var. Bu $1$ lerin en fazla $n_1m_1$ tanesi tanımladığımız $n_1$ sütun ve $m_1$ satırın kesişiminde olabilir. Dolayısıyla $n_1$ sütunun üstündeki $1$ lerin $$\dfrac{(2n_1+n_2)(m_1+m_2)}{4}-m_1n_1= \dfrac{n_2m_1+n_2m_2-2m_1n_1+2n_1m_2}{4}$$
den fazlası, aynı zamanda $1$ lerin yüzdesi $\leq 100-a$ olan $m_2$ satır üstünde.
Fakat biz, bu $m_2$ satır üstünde $\dfrac{(100-a)n}{100}.m_2$ den fazla $1$ olamayacağını biliyoruz. $$\implies \dfrac{(n_1+n_2)}{4}m_2 \geq \dfrac{100-a}{100}m_2.n > \dfrac{n_2m_1+n_2m_2-2m_1n_1+2n_1m_2}{4}$$
$$\implies 2m_1n_1 > n_2m_1+n_1m_2 ... (*)$$ bulunur.
$m_2 \geq m_1$ olduğundan, $(*)$ dan : $2m_1n_1 > n_2m_1+n_1m_2 \geq n_2m_1+n_1m_1$
$$\implies \boxed{n_1 > n_2}$$
Şimdi, $(*)$'ı bulana kadar yaptığımız hesabın benzerini $0$ ları sayarak yaparsak :
$2m_2n_2 > n_2m_1+n_1m_2$ bulunur, $(*)$ ile toplarsak : $$m_1n_1+m_2n_2 > n_2m_1+n_1m_2 \iff (m_1-m_2)(n_1-n_2) > 0$$ bulunur.  Fakat $$m_1-m_2 \leq 0 \text{ ve } n_1-n_2 > 0$$ olduğundan çelişki elde edilir.
Demek ki güzel sayı $\leq 75$ olmalıdır. İspat biter.
« Son Düzenleme: Temmuz 06, 2014, 11:21:38 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı efecan

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 5
  • Karma: +0/-0
Ynt: 6
« Yanıtla #2 : Ağustos 19, 2013, 07:46:38 ös »
Çözüm kontrol edilmiştir, Sinan hocamızın eline sağlık.

Çözüm düzeltildi.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 01:02:07 ös Gönderen: geo »
- Müsbet anlamda "Carpe Diem" -

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal