Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 5  (Okunma sayısı 2586 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 5
« : Ağustos 06, 2013, 04:32:55 öö »
Bir $ABC$ üçgeninin $AB$ ve $BC$ kenarlarına teğet olan bir $S$ çemberi, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de bir $T$ noktasında teğettir. $I$, $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi ise, $\widehat{ATI}=\widehat{CTI}$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 17, 2015, 01:28:39 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: 5 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2013, 05:07:13 öö »
$O$, $\triangle ABC$ nin çevrel merkezi; $P$, kenarlara teğet olan çemberin merkezi olsun.
$P$ merkezli $S$ çemberi, $AC$ ye $D$ de, $AB$ ye $E$ de dokunsun.


$AI$, çevrel çemberi $M$ de kessin. $M$, $AC$ yayının orta noktası olduğu için $OM\bot BC$ dir.
Aynı zamanda, $PD\bot BC$ olduğu için, $PD\parallel OM$ dir. $O,P,T$ noktaları doğrusal olduğu için, $\triangle TOM\sim \triangle TPD$ olacaktır. Bu durumda $T,D,M$ noktaları doğrusaldır.

Benzer şekilde, $CI$ çemberi $N$ de kesiyorsa, $T,E,N$ noktaları da doğrusal olacaktır.
$A,T,C,M,B,N$ noktaları için Pascal Teoremi uygulandığında $E,I,D$ noktaları doğrusal olur.

Pascal Teoremine takılmadan (aslında Pascal'ın ispatını yapıyoruz) şöyle yapabiliriz:

$\angle ANE=\angle IMD$, $\angle ENI=\angle DMC$, $\angle NAE=\angle ICD$, $\angle IAE=\angle BCM$ olduğu için, $INA$ üçgeninde $E$ noktası için, $IMC$ üçgeninde $D$ noktası için Ceva Teoreminin Trigonometrik halini uyguladığımızda, $\angle NIE=\angle DIC$ ve $\angle EIA=\angle DIM$ çıkacaktır. Bu da $E,I,D$ noktalarının doğrusal olduğu anlamına gelir.

$\angle BAC=2\alpha$ ve $\angle BCA=2\theta$ dersek, $\angle ATN=\theta$, $\angle CTM=\alpha$, $\angle NTM=\angle BED=\angle BDE=\alpha+\theta$, $\angle EIA=\theta$ ve $\angle DIC=\alpha$ olacaktır.

$\angle EIA=\angle ETA=\theta$ olduğu için $EITA$ dörtgeni kirişler dörtgeni olacaktır. Bu durumda, $\angle ETI=\angle EAI=\alpha$, dolayısıyla da $\angle ATI=\alpha+\theta=\angle CTI$ olacaktır.

Not:
IMO 1993 Shortlist'inde (İspanya-1) $I$ nın $DE$ üzerinde olduğu sorulmuş.
IMO 1978, $AB=BC$ iken $I\in DE$ sorulmuş.
« Son Düzenleme: Ocak 17, 2015, 01:28:48 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal