Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1997 Soru 2  (Okunma sayısı 2736 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1997 Soru 2
« : Ağustos 06, 2013, 04:32:47 öö »
Bir dışbükey $ABCDE$ beşgeninin iç bölgesindeki herhangi bir $F$ noktasının $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ ve $EA$ doğrularına uzaklığı sırasıyla $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ ve $a_{5}$ ile gösteriliyor. Bu beşgenin $A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ açılarının içaçıortayları üzerinde, $|AF_{1}|=|AF|$, $|BF_{2}|=|BF|$, $|CF_{3}|=|CF|$, $|DF_{4}|=|DF|$ ve $|EF_{5}|=|EF|$ eşitlikleri sağlanacak $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$ ve $F_{5}$ noktaları alınıyor. $F_{1}$ in $EA$, $F_{2}$ nin $AB$, $F_{3}$ ün $BC$, $F_{4}$ ün $CD$ ve $F_{5}$ in $DE$ doğrusuna uzaklığı sırasıyla $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $b_{4}$ ve $b_{5}$ ise $$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\le b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$$ olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 12:45:15 ös Gönderen: bosbeles »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 1997 Soru 2
« Yanıtla #1 : Eylül 14, 2013, 02:47:30 ös »
$\angle EAB = 2\alpha$ ve $\angle FAE = \beta$ olsun.
$a_5 = AF \cdot \sin \beta$, $a_1 = AF \cdot \sin (2\alpha - \beta)$ ve $b_1 = AF \cdot \sin \alpha$ olacaktır.
$a_1 + a_5 = AF \cdot (\sin \beta + \sin (2\alpha - \beta)) = AF \cdot (2\cdot \sin \alpha \cdot \cos (\alpha - \beta)) = 2b_1\cos (\alpha - \beta) \leq 2b_1$.
Benzer şekilde $1\leq i \leq 4$ için de $a_i + a_{i+1} \leq 2b_{i+1}$ olacağı için taraf tarafa topladığımızda $$2(a_1 + a_2+a_3+a_4+a_5) \leq 2(b_1 + b_2 + b_3+ b_4+b_5)$$ elde ederiz. $\blacksquare$
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:20:14 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal