Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 4  (Okunma sayısı 2295 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2003 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 04:32:40 öö »
$2^{2n+1}+2^{n}+1$ sayınsın tam kuvvet olmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 12:41:28 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2013, 05:06:10 öö »
(Burak VARICI)

Cevap: Tek çözüm $n=4$ tür.

Öncelikle, $n=1$ için $2^{3} +2^{1} +1=11$ ve $n=2$ için $2^{5} +2^{2} +1=37$ olduğundan, $n\ge 3$ varsayabiliriz.

$2^{2n+1} +2^{n} +1=x^{k} $, $p$ de $k$ nın en küçük asal böleni olsun. $x^{\frac{k}{p} } =m$ dersek, $2^{2n+1} +2^{n} +1=(x^{\frac{k}{p} } )^{p} =m^{p} $ olur. $p$ üzerinden iki durum vardır:
  • $p=2$. Dolayısıyla $8.2^{2n-2} +2^{n} +1=m^{2} $ olduğundan $7\cdot 2^{2n-2} =m^{2} -(2^{n-1}+1)^{2} =(m-2^{n-1} -1)\cdot(m+2^{n-1} +1)$ bulunur.
    $n\ge 2$ için $7\cdot 2^{2n-2} $ ifadesi çifttir. Dolayısıyla $m$ tektir, $m=2m_{1} +1{\rm \; }(m_{1} \in {\mathbb N})$ olsun. $7\cdot 2^{2n-4} =(m_{1} -2^{n-2} ).(m_{1} +2^{n-2} +1)$  elde edilir. İki durum vardır:
    • $m_{1} $ çifttir. Bu durumda $(m_{1} -2^{n-2} ).(m_{1} +2^{n-2} +1)$ ifadesinde çarpanlardan biri tek biri çift olduğundan, $m_{1} +2^{n-2} +1\in \left\{1,7\right\}$ sağlanır. $m_{1} +2^{n-2} +1>1$ olduğundan,  $m_{1} -2^{n-2} =2^{n-4} $, $m_{1} +2^{n-2} =6$ olmalıdır. Ancak bu durumda iki ifadeyi toplarsak:
      $2m_{1} =2^{2n-4} +6{\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }m_{1} =2^{2n-5} +3$ bulunur. Fakat $m_{1} $ çift demiştik, çelişki! Bu durumda çözüm yoktur.
    • $m_{1} $ tektir. $(m_{1} -2^{n-2} )$ tek çarpanı $1$ e veya $7$ ye eşit olmak üzere iki durum vardır.     
      $m_{1} -2^{n-2} =1$  durumunda $m_{1} +2^{n-2} =7\cdot 2^{2n-4} -1$ olur. İki ifadeyi toplarsak:   
      $2m_{1} =7\cdot 2^{2n-4} \Rightarrow m_{1} =7\cdot 2^{2n-5} $. Fakat $m_{1} $ tek demiştik,  çelişki! Bu durumda da çözüm yoktur.

      $m_{1} -2^{n-2} =7$  ise  $m_{1} +2^{n-2} =2^{2n-4} -1$ olur. İki ifadeyi toplarsak:  $2m_{1} =2^{2n-4} +6\Rightarrow m_{1} =2^{2n-5} +3$. Diğer taraftan,  $m_{1} -2^{n-2} =7{\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }2^{2n-5} -2^{n-2} =4$ bulunur.
      Dolayısıyla $2^{2n-7} -2^{n-4} =1$. Buradan $n=4$ çözümü gelir. Gerçekten de, $2^{9} +2^{4} +1=529$ bir tam kuvvettir.
  • $p>2$ ise, $2^{2n+1} +2^{n} +1=m^{p} {\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }2^{n} (2^{n+1} +1)=(m-1).\sum\limits _{i=0}^{p-1}m^{i}$.
    $m$ tek olduğundan  $\sum\limits _{i=0}^{p-1}m^{i}  \equiv \sum\limits _{i=0}^{p-1}1^{i}  \equiv p\equiv 1 \pmod 2$ bulunur. Dolayısıyla $2^{n} |m-1$, $m=2^{n}\cdot s+1{\rm \; }(s\in {\mathbb Z}^{+} )$ sağlanır.   
    $\Rightarrow {\rm \; }2^{n+1} +1=s\cdot \sum\limits _{i=0}^{p-1}(2^{n} s+1 )^{i} \ge \sum\limits _{i=0}^{2}(2^{n} +1)^{i} >2^{2n} +1 \Rightarrow {\rm \; }2^{n+1} >2^{2n} ,{\rm \; }1>2^{n-1} $ bulunur ki bu hiçbir $n\in {\mathbb N}$ için mümkün değildir. Demek ki bu durumda çözüm yoktur.
Sonuç olarak, $2^{2n+1} +2^{n} +1$ ifadesini tam kuvvet yapan tek pozitif tamsayı $n=4$ dür. $\blacksquare $
« Son Düzenleme: Eylül 15, 2013, 11:08:42 öö Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal