Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 4  (Okunma sayısı 2659 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 04:28:45 öö »
$3^{x}+11^{y}=z^{2}$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,z)$ sıralı pozitif tam sayı üçlülerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 12:42:52 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı merdan97

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 30
  • Karma: +0/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2013, 03:52:54 ös »
Denklemi $\bmod 8$'de inceleyelim: $3^x + 11^y \equiv 2,4,6 \pmod {8}$
$\bmod 8$'de karekalanlar $0,1,4$ olabilir. O zaman $3^x + 11^y \equiv 4 \pmod {8}$ olmalı. Buradan $x$ çift, $y$ tek veya $x$ tek, $y$ çift olur.
i.
$x=2k$ olsun.
$(z-3^k)(z+3^k)=11^y$
$z-3^k=11^m$
$z+3^k=11^{m+n}$
$11^{m+n}-11^m=2.3^k$ (Sol taraf her zaman $10$'a bölünür; fakat sağ taraf hiçbir zaman bölünmez. Çözüm gelmez.)

ii.
$y=2m$ olsun. $3^x=(z-11^m)(z+11^m)$
$z-11^m=3^b$   
$z+11^m=3^{b+c}$
$3^b(3^c-1)=2.11^m$ (Sağ taraf $3$'e bölünmez. $b=0$ olmalı. Aynı zamanda, soruda $x,y,z$ pozitif verildiğinden ve $y=2m$ olduğundan, $m$ pozitiftir. Sağ taraf $11$'e bölünür.)
$3^c\equiv 1\pmod {11} \Rightarrow c=5t$ olmalı.
$(3^t-1)(3^{4t}+3^{3t}+3^{2t}+3^{t}+1)=2.11^m$ 
$3^t-1=2.11^d$ ve $3^{4t}+3^{3t}+3^{2t}+3^{t}+1=11^p $                             
$d=0$ ise $t=1$, $c=5$, $x=5$, $m=2$, $y=2m=4$, $z=11^2+1=122$
$d\ge 1$ ise  $3^t\equiv 1\pmod {11}$
$3^{4t}+3^{3t}+3^{2t}+3^{t}+1\equiv 5\pmod {11}$ çözüm gelmez.
Tek pozitif tam sayı çözüm üçlüsü $(5,4,122)$.
« Son Düzenleme: Ağustos 24, 2013, 02:15:28 öö Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal