Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 1  (Okunma sayısı 2688 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 1
« : Ağustos 06, 2013, 04:27:27 öö »
$m_{1},m_{2}, \ldots ,m_{k}$, $2\le m_{1}$ ve $2m_{i}\le m_{i+1}$ $(i=1,2,\ldots ,k-1)$ koşullarını sağlayan tamsayılar olsun. Bu durumda, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ tamsayılar olmak üzere $$\begin{array}{rcl} x &\equiv& a_{1} \pmod {m_{1}}\\ x &\equiv& a_{2} \pmod {m_{2}}\\ &\vdots& \\ x &\equiv& a_{k} \pmod {m_{k}} \end{array}$$ bağıntılarından hiçbirini gerçeklemeyen sonsuz sayıda $x$ tamsayısının bulunduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 12:51:59 ös Gönderen: bosbeles »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 1
« Yanıtla #1 : Eylül 14, 2013, 04:29:05 ös »
$M = m_1m_2 \cdots m_k$ olsun. $1,2,\dots, M$ kümesinin elemanlarından
$\dfrac {M}{m_1}$ tanesi $x \equiv a_1 \pmod {m_1}$ denkliğini sağlar.

$\dfrac {M}{m_2}$ tanesi $x \equiv a_2 \pmod {m_2}$ denkliğini sağlar.

$\vdots$

$\dfrac {M}{m_k}$ tanesi $x \equiv a_k \pmod {m_k}$ denkliğini sağlar.

$1,2,\dots, M$ kümesinin elemanlarından en az bir denkliği sağlayanların sayısı $S$ olsun.

$$S \leq \sum\limits_{i=1}^k \dfrac M{m_i} \leq M \cdot \sum\limits_{i=1}^k \dfrac 1{m_1 \cdot 2^{i-1}} = \dfrac {M}{m_1}\left (1 + \dfrac 12 + \dfrac 14 + \dots + \dfrac 1{2^{k-1}}\right) < \dfrac {2M}{m_1} \leq M$$ Bu durumda $S<M$ elde edildiği için $1,2,\dots, M$ kümesinden en az bir eleman denkliklerin hiçbirini sağlamaz. Bu elemana $x_0$ dersek, $i=0,1,2,\dots$ için $x_i = M\cdot i + x_0$ sayılarından hiçbiri denklikleri sağlamayacak. $\blacksquare$
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:16:30 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal