Tübitak Lise 2. Aşama 2006 Soru 4

[geo]

$n\ge 2$ ve $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere $$t=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}$$ ise, $$\sum\limits_{i\ne j}{\dfrac{a_{i}}{a_{j}}}\ge \dfrac{(n-1)^{2}t}{t-1}$$ olduğunu gösteriniz.

(Refail Alizade)

[geo]

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'ni kullanarak:

$(\sum\limits_{i\ne j}{\dfrac{a_i}{a_j}).(\sum\limits_{i\ne j}{a_ia_j})\ge }{{\rm (}\sum\limits_{i\ne j}{a_i})}^2={(n-1)}^2.{(\sum\limits^n_{i=1}{a_i})}^2={(n-1)}^2t^2$  bulunur.

Öte yandan, $\sum\limits_{i\ne j}{a_ia_j}={(\sum\limits^n_{i=1}{a_i})}^2-\sum\limits^n_{i=1}{{a_i}^2}=t^2-t$  olduğundan, $\sum\limits_{i\ne j}{\dfrac{a_i}{a_j}\ge \dfrac{{(n-1)}^2t^2}{\sum\limits_{i\ne j}{a_ia_j}}}=\dfrac{{(n-1)}^2t^2}{t^2-t{\rm \ \ }}=\dfrac{{(n-1)}^2t}{t-1}$  elde edilir, ispat biter.