Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

Her $n\geqslant 2$ için, $ a_{n}=\sqrt[3]{n^3+n^2-n-1} / n $  ise, $a_{2}a_{3}\cdots a_{k}>3$ eşitsizliğinin sağlanması için $k$ pozitif tam sayısının en az kaç olması gerekir?


$
\textbf{a)}\ 100
\qquad\textbf{b)}\ 102
\qquad\textbf{c)}\ 104
\qquad\textbf{d)}\ 106
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{D}$

Verilen dizi $\left ( a_{n} \right )=\sqrt[3]{\left ( \dfrac{n+1}{n} \right )^{2}\cdot \left ( \dfrac{n-1}{n} \right )}$ şeklinde düzenlenebilir.

$\prod_{n=2}^{k}\left ( a_{n} \right )>3 \Rightarrow \sqrt[3]{\left ( \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4}\cdots\dfrac{k+1}{k}  \right )^2\left ( \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\cdots\dfrac{k-1}{k}  \right )}>3$

$\left ( \dfrac{k+1}{2} \right )^{2}\cdot \dfrac{1}{k}>27 \Rightarrow k\left ( k-106 \right )+1>0$

eşitsizliğini sağlayan en küçük $k$ pozitif tam sayısı $106$ dır.