Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 2

[Eray]

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $|AB|<|CD|$ dir. Dörtgenin köşegenlerinin kesişim noktası $F$, $AD$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası ise $E$ olsun. $F$ noktasının $AD$ ve $BC$ doğrularına olan izdüşümleri sırasıyla $K$ ve $L$, $[EF]$, $[CF]$ ve $[DF]$ nin orta noktaları ise sırasıyla $M$, $S$ ve $T$ olsun. $MKT$ ve $MLS$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktasının $[CD]$ kenarı üzerinde olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Verilenlerden $|MK|=|ML|=\dfrac{|EF|}{2} , |KT|=\dfrac{|DF|}{2} , |LS|=\dfrac{|CF|}{2}$ olduğu görülmektedir. $[DC]$ nin orta noktası $N$ olsun. Buna göre, $|KT|=|NS| , |LS|=|NT|$ olur. $FTNS$ paralelkenar olduğundan $\angle{FTN}=\angle{FSN}$ ve $ABCD$ kirişler dörtgeninde $\angle{ADB}=\angle{BCA}$ olduğundan $\angle{KTF}=\angle{LSF}$ olur. Bu açı ve kenar ilişkileri göz önüne alındığında $\triangle{KTN}$ ile $\triangle{NSL}$ nin eş üçgenler olduğunu görmekteyiz.Buradan $|NK|=|NL|$ olup $MKNL$ dörtgeninin bir deltoid olduğu sonucuna varırız. $M , (EKFL)$ çemberinin merkezi olduğundan $\angle{KML}=2\angle{DEC}$ dir. $MKNL$ deltoid olduğundan $\angle{KMN}=\angle{LMN}=\angle{DEC}$ dir. Açılar, temel kurallar yardımıyla incelendiğinde $\angle{KMN}+\angle{KTN}=\angle{LMN}=\angle{LSN}=180^\circ$ olduğunu görmek zor değildir. Buna göre, $(KMT)$ ve $(LMS)$ çemberlerinin $N$ noktasından geçtiğini söyleyebiliriz.