Ravi Dönüşümü-1 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

İng: Ravi Substitution olarak bilinen kavramı Ravi Değişken Değiştirmesi olarak Türkçe'ye çevireceğim. Daha iyi olabilecek önerilere de açığım.

Ek: Eray'dan Ravi Dönüşümü önerisi geldi ve bence bu daha güzel.

Ravi değişken değiştirmesi, kenar uzunlukları $a,b,c$ olan bir üçgende $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$ yazılmasıdır. $x,y,z>0$ olup geometrik anlamını aşağıdaki şekilden görebiliriz. Şimdi bu yöntem ile ilgili bazı problemler sunabiliriz.

Problem: Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan herhangi bir üçgende
$$ \dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\geq 3 $$
olduğunu ispatlayınız. Eşitlik koşulunu belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $a=y+z, b=z+x, c=x+y $ Ravi değişken değiştirmesi yapılırsa ispatlamamız istenen eşitsizlik:
$$ \dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{z+x}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}\geq 3 $$
biçimine dönüşür.

$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} \geq 2$ ...vb eşitsizlikleri yazıp toplarsak, $\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y} \geq 6 $ elde edilir. Eşitlik durumu $x=y=z$ iken sağlanır. Yani $a=b=c$ olup, üçgenin eşkenar olması halinde eşitlik hali geçerlidir.

[Eray]

Pek çok soruda işi oldukça kolaylaştıran bir bilgi. Teşekkürler Lokman hocam.

Türkçe olarak "Ravi dönüşümü" ifadesini önerebilirim. Zira literatürde "Ravi transformation" olarak da zikrediliyor.
Lisede bir olimpiyat hocamızın da "Ravi dönüşümü" ifadesini kullandığını hayal meyal hatırlıyorum.

[Lokman Gökçe]

Teşekkürler Eray, bu daha iyi bence de. Başlığı Ravi Dönüşümü olarak değiştireceğim.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin faydalı bir türü olan Bergstrom Eşitsizliğinden faydalanarak problemi çözebiliriz. Ayrıca çözümün bir aşamasında kullanacağımız bazı eşitsizlikler de şunlardır:

$a,b,c$ gerçel sayılar ise $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ ve $(a+b+c)^2 \geq 3(ab + bc + ca) $ dır. Bu eşitsizlikleri ispatlamak için $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$ aşikar eşitsizliğinde parantezleri açmak yeterli olacaktır. Ayrıca eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter şart $a=b=c$ olmasıdır.

Şimdi ana probleme geri dönelim ve $S = \dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}$ diyelim. Bergstrom Eşitsizliği'nden

$$ S = \dfrac{a^2}{ab+ca-a^2}+\dfrac{b^2}{bc+ab-b^2}+\dfrac{c^2}{ca+bc-c^2} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)} $$

olur. Aşikar eşitsizlikten elde ettiğimiz eşitsizlikleri de kullanırsak

$$  \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)} \geq \dfrac{3(ab + bc + ca)}{2(ab + bc + ca) -(ab + bc + ca)} = 3 $$

olup $S\geq 3$ elde edilir. Eşitlik analizi de kolayca yapılabilir. Eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter şart $a=b=c$, yani, üçgenin eşkenar olmasıdır.