Gönderen Konu: $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$  (Okunma sayısı 69 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 828
  • Karma: +14/-0
$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
« : Kasım 22, 2022, 05:23:48 ös »
$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3393
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
« Yanıtla #1 : Kasım 22, 2022, 05:47:42 ös »
Çözüm: $a = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$, $b= \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ olmak üzere $x=a+b$ gerçel sayı değerini araştırıyoruz. Küp açılımından,

$x^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

olur. $ab=  \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = -1 $ ve $a^3 + b^3 = 2+\sqrt{5} + 2-\sqrt{5} = 4$ olduğundan $x^3 = 4 -3x$ üçüncü dereceden denklemini elde ederiz. Bu denklemin köklerinden birinin $x=1$ olduğunu görmek kolaydır. $(x-1)$ çarpanı olacağını artık biliyoruz ve $(x^3 - 1) +(3x - 3) = 0$ şeklinde düzenlersek $(x-1)(x^2 + x + 1) + 3(x-1)=0$ olup $(x-1)(x^2 + x + 4) = 0$ biçiminde çarpanlara ayrılır. $x^2 + x + 4 = 0$ denkleminin gerçel kökü olmadığı için, kübik denklemin tek gerçel kökü $x=1$ dir. O halde
$$  \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}  + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = 1 $$
sonucuna ulaşırız.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 828
  • Karma: +14/-0
Ynt: $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
« Yanıtla #2 : Kasım 28, 2022, 04:09:32 ös »
Linkteki gibi de çözülebilir:

https://geomania.org/forum/index.php?topic=8127.msg22106;topicseen#msg22106

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal