1998 Çin Matematik Olimpiyatı - Geometrik Yer

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Problem: $ABC$ dar açılı üçgeninin içindeki bir $D$ noktası
$$ DA\cdot DB\cdot AB+DB\cdot DC\cdot BC+DC\cdot DA\cdot CA=AB\cdot BC\cdot CA $$
koşulunu sağlıyor. $D$ noktasının geometrik yerini (ispatlı biçimde) belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Çözüm: Daha önce Üçgenin İçinde alınan P noktası-Geometrik Eşitsizlik başlığında $ DA\cdot DB\cdot AB+DB\cdot DC\cdot BC+DC\cdot DA\cdot CA \geq AB\cdot BC\cdot CA $ eşitsizliğini ispatlamıştık. Bu bilgileri kullanalım. Eşitlik durumu ancak ve ancak, $D$ noktası $ABC$ üçgeninin diklik merkezi iken sağlanır.

O halde bu problemde, $D$ noktasının geometrik yeri $ABC$ üçgeninin diklik merkezidir.