ϕ(x) = 16

[geo]

$n \geq 1$ olmak üzere; $\phi (n)$ ile $n$ ile aralarında asal pozitif tam sayıların sayısını gösterelim. Buna göre $\phi(x)=16$ eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

Kaynak: Elementary Number Theory, David M. Burton.

[matematikolimpiyati]

$x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n}$  olsun ve  $\phi(x)=x \left(1-\dfrac{1}{p_1} \right) \left(1-\dfrac{1}{p_2} \right)... \left(1-\dfrac{1}{p_n} \right)$  teoremini kullanalım.

$\implies \dfrac{16}{(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)} = \dfrac{x}{p_1p_2...p_n}$  ifadesi bir tam sayıdır çünkü $p_i$'ler $x$'in asal bölenleridir.

Bu durumda $\dfrac{16}{(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)}$  da bir tam sayı olmalıdır.

$16$'nın pozitif tam bölenleri $1,2,4,8$ ve $16$ olduğundan ve aynı zamanda bu sayıların birer fazlası da asal olması gerektiğinden $p_i \in \{2,3,5,17\}$ yazabiliriz.

Durumları tek tek incelediğimizde $x$'in alabileceği değerlerin $17,32,34,40,48,60$  olmak üzere toplamda $6$ tane olduğunu görürüz.

[Lokman Gökçe]

Buradaki videoda, dakika 9:20 de $\phi (n) = 16$ problemini çözmüştüm. Sonrasında, 2012 Tübitak lise 1. aşama sorusu olan $\phi (n) = 20$ probleminin de çözümü vardır. Buradan paylaşmış olayım

[geo]

Evet benzerleri burada sorulmuş. Unutmuşum bunları. Hatta çözümleri ben yapmışım. Sayılar Teorisi kitabı karıştırırken görünce paylaşayım dedim.

Lise 1. Aşama 2012/10
Lise 1. Aşama 2013/10