Fermat'ın bir sorusu

[Metin Can Aydemir]

Soru: $x^3=y^2+2$ denklemini tamsayılarda çözünüz.

Bu soru "A Statement of Fermat" adıyla aşağıdaki kaynakta verilmiştir.
Kaynak: Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem 4th Edition, Ian Stewart, David Tall, 2016, CRC Press, p.78.

[alpercay]

İnternet araştırmamdan öğrendiğim kadarıyla $n$ tam sayı olmak üzere $$y^2=x^3+n$$ formundaki eliptik eğriler Mordell eğrileri olarak adlandırılıyor ve $n\ne 0$ için sonlu tam sayı çözümlere sahipler ancak her $n$ için çözüm yok(örneğin $n=6$ için). Eğri $x$ eksenine göre simetrik olduğundan $(x,y)$ bir çözüm iken $(x,-y)$ de bir çözüm.  Uspensky ve Heaslet (1939) Elementary Number Theory isimli kitaplarında $y^2=x^3-2$ denklemi için $(3,\pm5)$ den başka çözüm olmadığını bulmuşlar. Çözümden anladığım kadarıyla öncelikle $x$ in çift sayı olamayacağı dolayısıyla $y$ nin tek sayı olacağı ve $y^2+2$ ifadesi çarpanlarına ayrılarak çözüme başlanmış. Oradaki çözümü aktarmak yerine verilecek ayrıntılı çözümleri beklemeyi tercih ediyorum. Belki daha farklı bir çözüm gelecek.

Kitapta ayrıca, Fermat'nın bu soru hakkında 1657 yılında Digby'e yazdığı mektuptan da alıntı yapılmış fakat Fransızca olduğundan pek birşey anlamadım. Başka kaynaklarda  anladığım kadarıyla eğrilerin torsiyonu denilen bir tanıma bağlı olarak çözümlerden bahsediliyor ama konuya pek aşina olmadığımdan yorum yapamıyorum. Bu arada $n=0$ iken bu eğrilere yarı kübük parabol ya da Neil parabolü de deniliyor ve bu eğri $(0,0)$ noktasında cusp olarak tanımlanan bir singülariteye sahip. Bu da eliptik eğrilerin diskriminantı denilen bir kavramla ilişkiliymiş.

[Metin Can Aydemir]

Teşekkürler Alper hocam. Bu soru için yapacağım çözümü bu yöntemle genelleştirmek zor ama çözümü ekleyeyim.

Öncelikle $y$'nin tek olması gerektiğini görelim. Eğer $y$ çiftse $x$ de çift olacaktır ve $(x,y)=(2x_0,2y_0)$ yazarsak kolaylıkla çelişki elde ederiz. $y$ tek tamsayısı için denklemi $x^3=(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})$ olarak düzenleyelim, $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$'de çalışalım. $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ olduğundan bu tamlık bölgesinde çalıştığımızda elde edeceğimiz çözümler sorunun istediği çözüm ikililerini kapsayacaktır. Buradaki gönderideki ispatın benzerini yaparak $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$'nin Öklid bölgesi ve dolayısıyla tek türlü çarpanlarına ayrılabilir bölge olduğunu söyleyebiliriz (Bunun ispatında farklı olarak Öklid bölgesi tanımındaki fonksiyonu $f(a+b\sqrt{-2})=a^2+2b^2$ olarak alabiliriz). Yani $y+\sqrt{-2}$ ve $y-\sqrt{-2}$ aralarında asal ise ikisi de tamküp olmalıdır. Bunun için öncelikle $z,w\in\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ için $z\mid w$ ise $f(z)\mid f(w)$ olduğunu gösterelim ($f$ yukarıda verdiğim şekilde tanımlanıyor ve norm olarak adlandırılıyor). Bunun için $$zr=(a+b\sqrt{-2})(c+d\sqrt{-2})=(ac-2bd)+(ad+bc)\sqrt{-2}=w$$ yazıp $$f(z)f(r)=(a^2+2b^2)(c^2+2d^2)=(ac-2bd)^2+2(ad+bc)^2$$ olduğunu göstermek yeterlidir. Sadece çarpanlarına ayırma olduğundan burayı geçiyorum. Yani $s\in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ için $$s\mid y-\sqrt{-2}~~ \text{ve}~~s\mid y+\sqrt{-2}\implies s\mid 2y~~ \text{ve}~~s\mid 2\sqrt{-2}$$ olmalıdır. $f(2\sqrt{-2})=8$ ve $f(2y)=4y^2$ olduğundan $$f(s)\mid \text{ebob}(4y^2,8)=4\implies f(s)=1,2,4$$ elde edilir. Ancak ayrıca $$f(s)\mid f(y+\sqrt{-2})=y^2+1$$ olduğundan ve $y$ tek olduğundan $f(s)$ sadece $1$ veya $2$ olabilir. $s=p+q\sqrt{-2}$ dersek $f(s)=p^2+2q^2=1,2$ olacağından $(p,q)=(\pm 1,0), (0,\pm 1)$ olabilir ve $s=\pm 1, \pm \sqrt{-2}$ olabilir.

i) $s=\pm 1$ ise $y-\sqrt{-2}$ ve $y+\sqrt{-2}$ aralarında asaldır. Dolayısıyla $y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3$ formatında olmalıdır. Buradan $$y+\sqrt{-2}=a^3-6ab^2+b(3a^2-2b^2)\sqrt{-2}\implies 1=b(3a^2-2b^2)\implies (a,b)=(\pm 1,1)$$ bulunur. sabit terimleri eşitlersek $y=\pm 5$ bulunur.

ii) $s=\pm \sqrt{-2}$ ise $y-\sqrt{-2}=\sqrt{-2}(a+b\sqrt{-2})^3$ veya $y+\sqrt{-2}=\sqrt{-2}(a+b\sqrt{-2})^3$ olmalıdır. İkisini de yukarıdaki durumdaki gibi açıp eşitlersek $b=0$ bulunur ancak bu durumda $y=0$ elde edilir fakat $x$ tamsayı olmaz. Buradan çözüm gelmez.

Tek çözüm $(x,y)=(3,\pm 5)$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Tam çözüme ulaşamadım ancak klasik sayılar teorisine ait yöntemlerle yaptığım bazı ilerleme ve gözlemleri paylaşabilirim. Eğer klasik sayılar teorisi yöntemleri ile çözüm bulunabilirse bu da ilginç olur.


Bazı Gözlemler:

$\color{red}\bullet$ $x$ ile $y$ nin paritesi aynıdır. $x$ ve $y$ çift sayı ise $4\mid x^3$ iken $4\nmid y^2 + 2$ çelişkisi olur. Bu yüzden $x$ ve $y$ tek sayılardır.

$\color{red}\bullet$ Denklemi $x^3 - 1 = y^2 + 1$ biçiminde yazalım.  Öklid algoritması ile $d = (x-1, x^2 + x + 1) = (x-1,  x^2 + x + 1 - (x-1)(x+2)) = (x-1, 3)$ olup $d=1$ veya $d=3$ bulunur. $d=3$ durumunda $x-1 = 3a$, $x^2 + x + 1 = 3b$ ve $(a,b)=1$ olacak şekilde $a, b$ pozitif tam sayıları vardır. Bu halde $y^2 + 1= 9ab$ olur. $y^2 \equiv 2 \pmod{3}$ elde edilir. Bunun ise bir çelişki olduğunu biliyoruz. Çünkü bir tam sayının karesi modülo $3$ içinde $0$ veya $1$ e denk olabilir. O halde $d=1$ dir. Yani $x-1$ ve $x^2 + x + 1$ sayıları aralarında asaldır.

$\color{red}\bullet$ $y$ tek sayı olduğundan $y=2n+1$ dersek $y^2 + 1 = 4n^2 + 4n + 2 \equiv 2 \pmod{4}$ tür. Yani $y^2 + 1$ de yalnızca bir tane asal $2$ çarpanı vardır. $x$ de tek sayı olduğundan $2\mid x-1$, $4\nmid x-1$ olur. Yani $x\equiv 3 \pmod{4}$ biçiminde olmalıdır.

$\color{red}\bullet$ $y^2 + 1$ in tek sayı olan bir $p$ asal çarpanını inceleyelim. Ya $p\mid x-1$, $p\nmid x^2 + x + 1 $ ya da $p\nmid x-1$, $p\mid x^2 + x + 1 $ dir.

$\color{red}\bullet$ $y^2 + 1$ in tek sayı olan bir $p$ asal çarpanını inceleyelim. $y^2 \equiv -1 \pmod{p}$ yazılır. Bu denkliğin çözümünün olması için gerek ve yeter şart $p\equiv 1 \pmod{4}$ olmasıdır. Yani, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $p=4n+1$ biçimindedir. Bununla ilgili forumda işlediğimiz 4n+1 asal konusundaki iki teoremin ispatına bakılabilir.

$\color{red}\bullet$ $y^2 + 1$ in tek sayı olan bir $p$ asal çarpanını inceleyelim.

• $p\nmid x-1$ ve $p\mid x^2 + x + 1 $ durumunu inceleyelim. $x^3\equiv 1\pmod{p}$ olduğundan $x$ in modülo $p$ içindeki mertebesi $3$ tür. Ayrıca $p=4n+1$ biçimindedir. Fermat teoreminden, $x^{p-1} = x^{4n} \equiv 1 \pmod{p}$ dir. Dolayısıyla $3\mid 4n$ olmalıdır. Buradan $3\mid n$ bulunur. Bir $t$ pozitif tam sayısı için $n=3t$ olur. $p = 12t+1$ biçimindedir. Gözlemleyerek bulabileceğimiz $(x,y) = (3, 5)$ çözümü bu alt duruma girmektedir. $y^2 +1 = 26 = 2\cdot 13$ olup $p=13 = 12t + 1$ biçimindedir.
• $p\mid x-1$ ve $p\nmid x^2 + x + 1 $ durumundan henüz kayda değer bir bilgi veya çelişki elde edemedim.

$\color{red}\bullet$ Denklemi $x^3 - 27 = y^2 - 25$ biçiminde yazarsak $(x-3)(x^2 + 3x +9) = (y-5)(y+5)$ biçiminde çarpanlara ayırabiliriz. Yine buradan $x=3$ için $y=5$ çözümü görülmektedir. $y$ tek sayı olduğundan, $y-5$ ve $y+5$ çift sayıdır. $m=(y-5,y+5) =(y-5, 10)$ olup $1,2,5,10$ değerlerinde çift sayı olanlar incelenebilir. $m\in \{ 2, 10\}$ dur. Her iki durumda da $4\mid (y-5)(y+5)$ olup $4\mid x^3-27$ elde ederiz. $x^3 \equiv 27 \equiv 1 \pmod{4}$ olur. Bu denkliğin çözümü $x\equiv 3 \pmod{4}$ tür. Bu bilgiye daha önce de ulaşmıştık. Bu kısımdan da kayda değer bir bilgiye ulaşamadım.