Eliptik Türdeki Diophantine Denklemi

[Lokman Gökçe]

Problem: $p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $q^2-2q=p^3-5p^2-8p-3$ ise $p+q$ en az kaçtır?



Bilgiler: Soru matkafasi sitesinde soruldu. Bir süre sonra orada sunduğum çözümü paylaşabilirim. Uğraştırıcı bir soru olabilir fakat problemi yanıtlayabilmek için akademik bir konu olan eliptik türdeki Diophantine denklemlerinin çözüm yöntemlerini bilmeye gerek yoktur.

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{90}$

Çözüm:

Denklemin her iki tarafına $1$ ekleyelim ve ifadeyi düzenleyip

$$(q-1)^2=(p+1)(p^2-6p-2)$$

şeklinde yazalım ve $(p+1,p^2-6p-2)=d$ olsun.

$d \mid p+1 \implies d \mid (p+1)^2=p^2+2p+1$

$d \mid p+1 \implies d \mid 8(p+1) = 8p+8$

$ \implies d \mid [(p^2+2p+1)-(8p+8)] = p^2-6p-7$   ve ayrıca $d \mid p^2-6p-2$ olduğundan dolayı

$d \mid (p^2-6p-2)-(p^2-6p-7) = 5$ elde ederiz. Buradan da ya $d=1$ ya da $d=5$ tir.

$i)\ d=1$ ise $p+1$ ve $p^2-6p-2$ ayrı ayrı tamkare olmalı fakat $p+1$ ifadesini tamkare yapan tek değer $p=3$ tür. Bu değer denklemi sağlamaz.

$ii)\ d=5$ ise $p+1$ ifadesi $5$ in katı olmalı aynı zamanda $p+1$ çift sayı olduğu için $p=10k-1$ formatında bir asal olmalı

en küçük değer olarak $p=19$ için $q=71$ olur ve $p+q=90$ sonucuna ulaşırız.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler @matematikolimpiyati, çözümünüz doğru. Kendi çözümümü de ekleyebilirim.


Çözüm Öncesi Motivasyonu: Problem bana $2019$ İstanbul Bilim Olimpiyatları'nın Ortaokul Matematik 7-8 kategorisinde sorulmuş olan ''$7n^2 = m^3 + 15m$ denkleminin tam sayılarda kaç çözümü vardır?'' sorusunu hatırlattı. Muhtemelen, tüm zamanların en zor ortaokul matematik olimpiyat sorusudur. Bir düzeye kadar çözümünü video olarak sunmuştum. Bu düzey, Eliptik Türdeki Diophantine Denklemlerinin Çözüm Yöntemleri dir. Bu aşama özel bir uzmanlık alanına giriyor, benim mevcut bilgimin dışındadır. O soruya tam cevap verebilmek için eliptik denklem kavramını iyi bilmek gerekiyordu diye düşünüyorum. Benzer bir soru ise $2019$ lise aşamasında da vardır ve onun çözümü çok daha kolaydır. Yukarıdaki soru ile İSBO soruları birbirine benzemektedir. Bir soruyu çözdüğümüz zaman, benzer türde bir soruda ne yapabileceğimiz ile ilgili daha fazla fikrimiz oluyor. Yani, soru deneyimi önemlidir. Çözüm motivasyonumuzu buradan alıyoruz.



Çözüm 2: $(q-1)^2 = p^3-5p^2-8p-2 = (p+1)(p^2 - 6p - 2) $ biçiminde çarpanlara ayıralım. Öte taraftan Euclid algoritması ile,

$$ d = (p+1, p^2 - 6p - 2) = (p+1, p^2 - 6p - 2 - (p+1)(p-7)) = (p+1,5) = 1 \text{ veya } 5 $$

elde edilir.

 $\color{red}\bullet $ $d=1$ durumunda $p+1$ ve $p^2 - 6p - 2$ aralarında asal olduğu için çarpımları bir tam kareye eşitse, bunların her birinin tam kare olması gerekir. $p+1=a^2$, $p^2 - 6p - 2 = b^2$ olacak şekilde aralarında asal $a, b$ pozitif tam sayıları bulunmalıdır.  Ne var ki $(p-3)^2 - b^2 = 11$ denklemi iki kare farkından çarpanlara ayrılırsa tek çözüm $p=9$, $b=5$ bulunur ve $p=9$ asal sayı değildir. Bu durumda çözüm yoktur. Diğer duruma geçelim.

 $\color{red}\bullet $ $d=5$ $p+1$ ve $p^2 - 6p - 2$ sayılarının çarpımının bir tam kare olması için $p+1=5a^2$, $p^2 - 6p - 2 = 5b^2$ olacak şekilde aralarında asal $a, b$ pozitif tam sayıları bulunmalıdır. $p=5a^2-1$ üzerinden devam edelim. En küçük $p$ değerini araştıralım.

• $a=1$ için $p= 4$ olup asal sayı değildir. Aslında $a$ nın çift sayı olması gerektiğini görüyoruz.
• $a=2$ için $p= 19$ olup asal sayıdır. Bu halde $b=7$ elde edilir. $(q-1)^2 = (p+1)(p^2 - 6p - 2) = 5a^2 \cdot 5b^2$ denkleminde yazarsak $(q-1)^2 = 5\cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 5^2\cdot 2^2 \cdot 7^2 = 70^2$ olur. $q-1=70$ den $q=71$ asal sayısı bulunur. $p+q = 19 + 71 = 90$ bulunur.
• $a=4$ için $p=79$ olup asaldır. $a\geq 4$ durumlarında  çözüm varsa bile $q>p\geq 79 $ olduğundan $p+q>159>90$ olur.

Böylece en küçük toplam değeri $(p+q)_\min = 90$ elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Çözüm 3: İfadeyi düzenlersek $$(q-1)^2\equiv p^3-5p^2-8p-2\equiv -2\pmod{p}$$ bulunur. $p=2$ için denklemin çözümü olmadığı bulunabilir. $p>2$ için $-2$, $p$ modunda karekalandır. $$\left(\dfrac{-2}{p}\right)=\left(\dfrac{-1}{p}\right)\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{p^2+4p-5}{8}}=1\implies p^2+4p-5\equiv 0\pmod{16}$$ elde edilir. $p=4k+1$ ve $4k+3$ için denenirse $p\equiv 1,3\pmod{8}$ olarak bulunur. Bunu sağlayan asallar, $3,11,17,19,\dots$ olarak gider. $f(x)=x^3-5x^2-8x-2$ için $f'(x)=3x^2-10x-8$ olacağından ve $x>4$ için $f$'nin artan olacağından $p$'yi olabildiğince küçük seçmeliyiz.

$p=3$ ise $p^3-5p^2-8p-2=-44$ çıkar, çözüm yoktur.
$p=11$ ise $p^3-5p^2-8p-2=636$ çıkar, tamkare değildir.
$p=17$ ise $p^3-5p^2-8p-2=3330$ çıkar, tamkare değildir.
$p=19$ ise $p^3-5p^2-8p-2=4900=70^2$ çıkar, $q=71$ sağlar. Daha büyük değerleri kontrol etmemize gerek yoktur. $p+q$'nun en küçük değeri $19+71=90$'dır.