Ufak değerlerde denersek $(a,b,c)=(2,1,1)$ üçlüsü $\lambda$ kısıtlaması olmadan bir çözüm olacaktır. Bizim iddiamız ise $\lambda$'nın minimum değerinin $2$ olduğudur. Öncelikle yukarıdaki örneği kullanarak $\lambda=2$ durumunda çözüm olduğunu görebiliriz. İddiamızı kanıtlamak için $\lambda<2$ için çözüm olmadığını gösterelim.
$a,b,c\in [1,\lambda]\subset [1,2]$ olduğunu kenarda tutalım. $$a^3+2 <5a\tag{1}$$ olduğunu iddia ediyoruz. $$a^3+2 < 5a\iff a^3-5a+2=(a-2)(a^2+2a-1)< 0$$ $a<2$ ve $a^2+2a-1\geq 1+2 -1>0$ olduğundan eşitsizlik doğrudur. Şimdi ise $$b^3+5a\leq 5ab+1\tag{2}$$ olduğunu gösterelim. $$(2)\iff b^3-5ab+5a-1=(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq 0$$ Yani bizim $b^2+b+1\leq 5a$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $b\leq a$ olduğundan $a^2+a+1\leq 5a$ olduğunu gösterelim. $$a^2-4a+1\leq 0\iff (a-2)^2\leq 3\iff 2-a\leq \sqrt{3}\iff 2-\sqrt{3}<1\leq a$$ olduğundan eşitsizlik doğrudur. $(2)$'e çok benzer olarak $$c^3+5ab\leq 5abc+1\tag{3}$$ olduğu gösterilebilir. Bu eşitsizliğin tek farkı $(1)$'de $b$ yerine $c$ ve $a$ yerine $ab$ yazılmasıdır, ispatı aynıdır. $(1)+(2)+(3)$'den $$a^3+b^3+c^3<5abc$$ elde edilir ki bu da $a^3+b^3+c^3=5abc$ olmasıyla çelişir. Dolayısıyla $\lambda<2$ için çözüm yoktur. $\lambda$'nın alabileceği minimum değer $2$'dir.
Şimdi ise sadece $\lambda=2$ için denklemin tek çözümü olduğunu gösterelim. $\lambda<2$ için çözüm olmadığını gösterdik. $\lambda>2$ için ise elimizde $(a,b,c)=(2,1,1)$ çözümü vardır. Eğer bu çözümden başka çözüm bulursak ispat biter. Çok ufak bir $\epsilon>0$ reel sayısı alalım. $\epsilon$'u istediğimi gibi küçük seçebileceğimizden $2+\epsilon<\lambda$ seçebiliriz. Şimdi $a=(2+\epsilon)$ ve $c=1$ için denklemi sağlayan bir $2\geq b\geq 1$ bulmaya çalışalım. $$b^3-5(2+\epsilon)b+(2+\epsilon)^3+1=0$$ olmasını istiyoruz. $P(x)=x^3-5(2+\epsilon)x+(2+\epsilon)^3+1$ polinomu tanımlayalım. $$P(1)=(2+\epsilon)^3-5(2+\epsilon)+2~~\text{ve}~~ P(2)=(2+\epsilon)^3-10(2+\epsilon)+9$$ olacaktır. $\epsilon\to 0$ iken $P(2)\to -3$ olduğundan $P(2)<0$ olacak şekilde küçük bir $\epsilon>0$ vardır (yani hem $P(2)<0$ hem de $2+\epsilon<\lambda$ olacak şekilde seçiyoruz). $Q(x)=x^3-5x+2$ olarak tanımlarsak $Q(2)=0$ olur fakat $Q'(2)=7>0$ olduğundan $Q$ polinomu $x=2$ kökünden sonra bir süre pozitif kalıyordur. Dolayısıyla $P(1)=Q(2+\epsilon)>0$ olacak kadar ufak bir $\epsilon>0$ seçebiliriz (yukarıdaki $\epsilon$ seçme kurallarımızı da sağlayan bir $\epsilon$ seçiyoruz). Yani çok ufak bir $\epsilon$ için $P(1)>0$ ve $P(2)<0$ olacaktır. Dolayısıyla $P$ polinomunun $(1,2)$ aralığında bir kökü olacaktır. Bu da tek çözümün $(a,b,c)=(2,1,1)$ olmadığı anlamına gelir. İspat biter.
