Çözüm: Tüm çözüm basamaklarında $P$ noktasının konumunun küçük $\overset{\huge\frown}{BC}$ yayı üzerinde olduğunu kabul edebiliriz. Çünkü (b) ve (c) şıklarındaki denklemler de $x, y, z$ ye göre simetriktir.
(a) Ptolemy teoreminden $y = x + z$ yazabiliriz. Ayrıca kosinüs teoreminden
$$ a^2 = x^2+ z^2 +xz =x^2 + y^2 - xy = z^2 + y^2 - yz $$
eşitlikleri yazılır. $y^2 = (x + z)^2 = x^2 + z^2 + 2xz$ tam kare açılımı $ a^2 = x^2+ z^2 +xz$ denkleminde kullanılırsa $y^2 = a^2 + xz$ elde edilir.
(b) $a^2 = x^2 + y^2 - xy$ ve $a^2 = z^2 + y^2 - yz$ denklemleri toplanırsa $2a^2 = x^2 + 2y^2 + z^2 - y(x+z)$ olur. Tekrar $y=x+z$ kullanılırsa,
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$$
elde edilir.
(c) Öncelikle $x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2 = a^4$ olduğunu kanıtlayalım.
$x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2 = (x^2 + z^2)y^2 + x^2z^2 = (a^2 - xz)y^2 + x^2z^2 = a^2y^2 -xzy^2 + x^2z^2 = a^2y^2 -xz(y^2 -xz) = a^2y^2 -xza^2 = a^2(y^2 - xz) = a^2\cdot a^2 = a^4$ bulunur. Şimdi de tam kare açılımdan faydalanarak
$$ (x^2 + y^2 + z^2)^2 = x^4 + y^4 + z^4 +2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2) $$
yazalım. $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$ olduğunu kullanırsak, $$x^4 + y^4 + z^4 = 2a^4 $$
sonucuna ulaşırız.