Gönderen Konu: Eşkenar üçgen ve 4. kuvvetler toplamı  (Okunma sayısı 1283 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Eşkenar üçgen ve 4. kuvvetler toplamı
« : Mayıs 14, 2022, 07:11:23 ös »
Soru: $ABC$ eşkenar üçgeninin çevrel çemberi üzerinden keyfi bir $P$ noktası alınıyor. $|PB|=x, |PA|=y, |PC|=z$ ve $|AB|=a$ olsun.

(a) ($P$ noktası küçük $\overset{\huge\frown}{BC}$ yayı üzerinde iken) $y^2 = a^2 + xz$

(b) $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$

(c) $x^4 + y^4 + z^4 = 2a^4$

bağıntılarının sağlandığını gösteriniz.
« Son Düzenleme: Mayıs 14, 2022, 08:58:59 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Eşkenar üçgen ve 4. kuvvetler toplamı
« Yanıtla #1 : Mayıs 14, 2022, 08:38:47 ös »
Çözüm: Tüm çözüm basamaklarında $P$ noktasının konumunun küçük $\overset{\huge\frown}{BC}$ yayı üzerinde olduğunu kabul edebiliriz. Çünkü (b) ve (c) şıklarındaki denklemler de $x, y, z$ ye göre simetriktir.

(a) Ptolemy teoreminden $y = x + z$ yazabiliriz. Ayrıca kosinüs teoreminden

$$  a^2 = x^2+ z^2 +xz =x^2 + y^2 - xy = z^2 + y^2 - yz $$
eşitlikleri yazılır. $y^2 = (x + z)^2 = x^2 + z^2 + 2xz$ tam kare açılımı $ a^2 = x^2+ z^2 +xz$ denkleminde kullanılırsa $y^2 = a^2 + xz$ elde edilir.


(b) $a^2 = x^2 + y^2 - xy$ ve $a^2 = z^2 + y^2 - yz$ denklemleri toplanırsa $2a^2 = x^2 + 2y^2 + z^2 - y(x+z)$ olur. Tekrar $y=x+z$ kullanılırsa,

$$  x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$$
elde edilir.


(c) Öncelikle $x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2 = a^4$ olduğunu kanıtlayalım.

$x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2 = (x^2 + z^2)y^2 + x^2z^2 = (a^2 - xz)y^2 + x^2z^2 = a^2y^2 -xzy^2 + x^2z^2 = a^2y^2 -xz(y^2 -xz) = a^2y^2 -xza^2 = a^2(y^2 - xz) = a^2\cdot a^2 = a^4$ bulunur. Şimdi de tam kare açılımdan faydalanarak

$$ (x^2 + y^2 + z^2)^2 = x^4 + y^4 + z^4 +2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2) $$

yazalım. $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$ olduğunu kullanırsak,  $$x^4 + y^4 + z^4 = 2a^4 $$
sonucuna ulaşırız.
« Son Düzenleme: Mayıs 14, 2022, 09:20:17 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal