Faydalı Bir Eşitsizlik (Bergström's inequality) Üzerine Bazı Bilgiler

[Lokman Gökçe]

Bu yazıda Faydalı eşitsizlik ile ilgili bir kolay bir problem ve eşitsizliğin kökeni ile ilgili bazı bilgiler sunacağız.


Problem: $a\cdot b \cdot c \neq 0$ olan $a, b, c$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2=1$ eşitliğini sağladığına göre, $$S=\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?




Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin bir türü olup İlham Aliyev hocamız tarafından da Faydalı Bir Eşitsizlik ismiyle Tübitak matematik olimpiyat kamplarında anlatılan bir eşitsizlik vardır. Bu eşitsizlik bazı Amerikalılar tarafından, (Hem ABD takımının önemli eğitmenlerinden Titu Andreescu'ya hem de yıkıcı gücüyle Terminatör 2'ye gönderme yapılarak) Titu's Lemma, T2 Lemma gibi isimlerle internette yayılmaya çalışılmıştır. (Bkz. Wikipedia ve AoPS.) Öte taraftan ulaşabildiğim kaynaklara göre faydalı eşitsizlikten 1997'de Rusça olarak Kvant dergisinde Ermeni matematikçi Nairi Sedrakyan bahsetmiştir. Fakat Kvant'daki yazıda hiçbir kaynakça yoktur. Garip biçimde Cauchy'ye bile referans verilmemiştir. Birileri de Wikipedia'daSedrakyan's inequality ismiyle başlık açmıştır. Fakat eşitsizliğin kitaplara girişi daha eski bir tarihe gidiyor. cut-the-knot sitesinde E. F. Beckenbach veR. Bellman'ın Inequalities (Springer, 1961) isimli kitabında Bergström's inequality ismiyle bulunduğu aktarılmaktadır. Eğer varsa, daha eski bir kaynağın varlığı ortaya çıkana kadar, Bergström Eşitsizliği isminin kullanılmasını teşvik ve tavsiye ediyoruz. Bugünkü bilgimizle eşitsizlik Bergström'e aittir. Örneğin buradaki gibi bilimsel dergilerde Bergström'e atıf yapıldığını ve Amer. Math. Montly, Vol. 62 (1955), 172–173 ile verilen kaynakçasında "An Inequality Due to Bergström" ismini görüyoruz. Yani bu eşitsizlik ile ilgili yazılı kayıtlar 1955'e kadar uzanmaktadır.



Çözüm:

Faydalı eşitsizlikten $ S=\dfrac{(a^2)^2}{b^2}+\dfrac{(b^2)^2}{c^2}+\dfrac{(c^2)^2}{a^2} \geq  \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$ olup $S \geq 1$ elde edilir. Eşitlik durumu $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ iken sağlanır. Böylece $S_\min = 1$ sonucuna ulaşırız.


Son Güncelleme: 6 Eylül 2023.

[Lokman Gökçe]

Problem 2: $a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere

$$ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2} $$

olduğunu ispatlayınız. (A. M. Nesbitt, 1903)


Çözüm: $S=\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{a^2}{ab+ac} + \dfrac{b^2}{bc+ba} + \dfrac{c^2}{ca+cb}$ olup Bergström Eşitsizliği uygulanırsa,

$$ S \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} $$

olur. Üç terimlinin karesi açılırsa, iyi bilinen $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ bc + ca)$ eşitsizliğinin doğru olduğunu görmek kolaydır. Böylece $S \geq \dfrac{3}{2}$ elde edilir. Eşitlik durumu $a=b=c$ iken sağlanır.