Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1963 Soru 5  (Okunma sayısı 1787 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1963 Soru 5
« : Haziran 04, 2014, 03:37:48 ös »
$\cos{\dfrac{\pi}{7}} - \cos{\dfrac{2\pi}{7}}+\cos{\dfrac{3\pi}{7}}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu gösteriniz.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1995
  • Karma: +9/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1963 Soru 5
« Yanıtla #1 : Kasım 09, 2022, 12:52:19 öö »
Eşitliği $2\sin \dfrac \pi 7$ ile genişletelim.

$$2\sin \dfrac \pi 7 \cos \dfrac \pi 7 - 2\sin \dfrac \pi 7 \cos \dfrac {2\pi}7 + 2\sin \dfrac \pi 7 \cos  \dfrac {3\pi}7 \stackrel{?}{=} \sin \dfrac \pi 7 \tag {1}$$
$$\sin \dfrac {2\pi} 7 - (\sin \dfrac {3\pi} 7 - \sin \dfrac {\pi} 7) + (\sin \dfrac {4\pi} 7 - \sin \dfrac {2\pi} 7) \stackrel{?}{=} \sin \dfrac \pi 7 \tag {2}$$
$\sin \dfrac {3\pi} 7 = \sin \dfrac {4\pi} 7$ olduğu için $ \sin \dfrac {\pi} 7 \stackrel{?}{=} \sin \dfrac {\pi} 7$ elde ederiz.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1995
  • Karma: +9/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1963 Soru 5
« Yanıtla #2 : Kasım 09, 2022, 01:47:03 öö »
$x^7 = 1$ denkleminin çözümleri $z_k = \cos \dfrac {2\pi k} 7 + i \sin \dfrac {2\pi k} 7$ $(k=0,1,2,3,4,5,6)$ dır.
Kökler toplamı $0$ olduğu için köklerin reel kısımları toplamı da $0$ olacaktır. Bu durumda $$1 + \cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {4\pi} 7 + \cos \dfrac {6\pi} 7 + \cos \dfrac {8\pi} 7 + \cos \dfrac {10\pi} 7 + \cos \dfrac {12\pi} 7 = 0$$ elde edilir. $\cos \alpha = \cos (2\pi -\alpha)$ ve $\cos \alpha = - \cos (\pi -\alpha)$ olduğu için $$1+2\left (\cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {4\pi} 7 + \cos \dfrac {6\pi} 7 \right) = 1 + 2\left (\cos \dfrac {2\pi} 7 + - \cos \dfrac {3\pi} 7 - \cos \dfrac {\pi} 7 \right) = 0$$ elde edilir. Biraz düzenlemeyle $$2\left (\cos \dfrac {\pi} 7  - \cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {3\pi} 7 \right) = 1 $$ elde ederiz.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal