Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 4  (Okunma sayısı 3021 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3514
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 04:28:40 öö »
Bir $ABC$ ($\vert AB\vert \ne |AC|$) üçgeninin $A$ açısının iç ve dış açıortayları $BC$ doğrusunu sırayla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[DE]$ çaplı (ve üçgenin düzleminde bulunan) çemberin herhangi bir $F$ noktasından $BC,CA,AB$ doğrularına indirilen dikmelerin ayakları sırayla $K,L,M$ ise, $\vert KL\vert =|KM|$ olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Mayıs 03, 2015, 05:36:27 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2055
  • Karma: +9/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 15, 2013, 08:59:37 öö »
Söz konusu çember $B$ ve $C$ noktalarına olan uzaklıkları oranı $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{EB}{EC}=k$ sabit olan noktalar kümesi, diğer bir adıyla Apollonius (Apolonyus) çemberidir. Çember üzerindeki her $F$ noktası için $\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{EB}{EC}=k$ sağlanır. Diğer bir deyişle $FBC$ üçgeninde $FD$ bir iç açıortay ve $FE$ bir dış açıortaydır. Bunu fark ettikten sonra sorunun geri kalanı için birçok farklı çözüm yapılabilir. Bu sorunun benzerleri IMO 1996/2, IMO 2010/4 da karşımıza çıkıyor.


$\angle BAF=2a,\ \angle FAC=2b,\ \angle FBC=2c,\ \angle FCB=2d$ olsun. $FE$ dış açıortay olduğu için $\angle CFE=\dfrac{2c+2d}{2}=c+d\Rightarrow \angle FEB=2d-\left(d+c\right)=d-c$ olur.

$\angle FAD=\left(a+b\right)-2a=b-a$. $AFDE$ kirişler dörtgeninde $\angle FED=\angle FAD=b-a$ olduğundan $a+d=b+c$ elde edilir. Şimdi de soruda verilen dikmeleri indirelim. $KBMF$, $KCLF$ ve $LAMF$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir.


$\angle MLF=\angle MAF=2a,\ \ \angle FLK=\angle FCK=2d\Rightarrow \angle MLK=2a+2d$. Benzer şekilde $\angle LMF=\angle LAF=2b,\ \ \angle FMK=\angle FBK=2c\Rightarrow \angle LMK=2b+2c$ elde edilir.

$a+d=b+c$ olduğunu daha önce göstermiştik. Bu durumda

$\angle LMK=\angle MLK\Rightarrow KL=KM$ olarak bulunur.
« Son Düzenleme: Ağustos 29, 2013, 01:24:07 öö Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2055
  • Karma: +9/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #2 : Ağustos 15, 2013, 09:01:41 öö »
$KFLC$ kirişler dörtgeninde $$\dfrac{KL}{{\sin \angle BCA}}=2\cdot R=FC \Rightarrow KL=FC\cdot {\sin\angle BCA}$$, benzer şekilde $KFMB$ kirişler dörtgeninde  $$KM=FB\cdot {\sin\angle ABC}$$ elde edilir. Bu durumda $$\dfrac{KL}{KM}=\dfrac{FC\cdot {\sin\angle BCA}}{FB\cdot {\sin\angle ABC}}=\dfrac{FC}{FB}\cdot \dfrac{AB}{AC}$$ elde edilir. $A$ ile $F$ nin geometrik yerinden $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BF}{FC}$ olduğu için $\dfrac{KL}{KM}=1$ elde edilir.
« Son Düzenleme: Ağustos 20, 2013, 01:38:30 ös Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal