Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 3

[Lokman Gökçe]

• Tweet

$ \mathbb{N}$ ile pozitif tamsayılar kümesini gösterelim. Bir $A$ gerçel sayısı ile $a_{1}=1$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için, $$1<\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\le A$$ koşulunu sağlayan, üstten sınırlı olmayan bir $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ gerçel sayı dizisi verliyor.

• Her $n \in \mathbb{N}$ için $$1<\dfrac{A^{k(n)}}{a_{n}}\le A$$ eşitsizliklerini sağlayan tek bir $k:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ fonksiyonunun bulunduğunu ve $k$'nin azalmayan ve örten bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
• Yukarıdaki $k$ fonksiyonu her değeri en fazla $m$ kez alıyorsa, her $n \in \mathbb{N}$ için $C^{n}\le Aa_{n}$ olacak şekilde bir $C>1$ gerçel sayısının var olduğunu gösteriniz.