Tübitak Lise 2. Aşama 1995 Soru 2

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Dar açılı bir $ABC$ üçgeni ile bu üçgenin düzleminde, üçgenin $ \lbrack BC\rbrack ,\lbrack CA\rbrack ,[AB]$ kenarlarını sırasıyla çap kabul eden $k_{1},k_{2},k_{3}$ çemberleri çiziliyor. Çemberlerin kuvvet merkezi $K$, $\lbrack AK\rbrack \cap k_{1}=\{D\}$, $\lbrack BK\rbrack \cap k_{2}=\{E\}$ ve $\lbrack CK\rbrack \cap k_{3}=\{F\}$ olmak üzere, $Alan(\buildrel\triangle\over {ABC})=u$ , $Alan(\buildrel\triangle\over {DBC})=x$, $Alan(\buildrel\triangle\over {ECA})=y$ ve $Alan(\buildrel\triangle\over {FAB})=z$ ise, $$u^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

• Tweet

Kenarları çap kabul eden çemberler yüksekliklerin ayaklarından geçer. Yükseklikler bu çemberlerin ikişerli kuvvet eksenidir. Üç çemberin ikişerli kuvvet eksenleri tek bir noktada kesişir. Sorudaki kuvvet eksenleri yükseklik olduğu için $K$ noktası da üçgenin diklik merkezidir.

$\left[BC\right],\left[CA\right],[AB]$ kenarlarına ait yükseklik ayakları $X,Y,Z$ olsun. $BX=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ ve $CX=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$. Öklid teoreminden
$$DX^2=BX\cdot XC\Rightarrow {\left[BDC\right]}^2=\dfrac{BC^2\cdot DX^2}{4}$$ $$=\dfrac{BC^2\cdot BX\cdot XC}{4}=\dfrac{{(a}^2+b^2-c^2)\cdot (a^2+c^2-b^2)}{16}$$ $$\Rightarrow 16{\cdot \left[BDC\right]}^2=a^4-{\left(b^2-c^2\right)}^2.  $$
Benzer şekilde ${16\cdot \left[ECA\right]}^2=b^4-{\left(a^2-c^2\right)}^2$ ve $16\cdot {\left[FAB\right]}^2=c^4-{\left(a^2-b^2\right)}^2$ elde edilir. 16$\cdot {\left[ABC\right]}^2=16\cdot {\left[BDC\right]}^2+16\cdot {\left[ECA\right]}^2+16\cdot {\left[FAB\right]}^2$ olduğunu göstereceğiz. $$16\cdot {\left[ABC\right]}^2=16\cdot u\left(u-a\right)\left(u-c\right)\left(u-b\right)$$ $$=\left(a+b+c\right)\cdot \left(a+b-c\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(b+c-a\right)$$
$$=\left({\left(a+b\right)}^2-c^2\right)\left(c^2-{\left(b-a\right)}^2\right)$$ $$={\left(a+b\right)}^2c^2-c^4-{\left(a+b\right)}^2{\left(b-a\right)}^2+c^2{\left(b-a\right)}^2 $$ $$=c^2\left(a^2+b^2+2ab+a^2+b^2-2ab\right)-c^4-{\left(b^2-a^2\right)}^2$$ $$=2a^2c^2+2b^2c^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4$$ elde edilir. Diğer taraftan $$16\cdot {\left[BDC\right]}^2+16\cdot {\left[ECA\right]}^2+16\cdot {\left[FAB\right]}^2$$ $$=a^4-{\left(b^2-c^2\right)}^2+b^4-{\left(a^2-c^2\right)}^2+c^4-{\left(a^2-b^2\right)}^2$$ $$=2a^2c^2+2b^2c^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4$$ çıkar. Bu durumda $u^2=x^2+y^2+z^2$ eşitliği sağlanmış olur.

[geo]

• Tweet

$\left[BC\right],\left[CA\right],[AB]$ kenarlarına ait yükseklik ayakları $X,Y,Z$ olsun. $A,B,C$ den geçen yükseklikler  $(ABC)$ yi sırasıyla $A',B',C'$ noktalarında kessin.

$KX=XA'$ olması gerektiği bilinen bir özellik (değilse, $\angle CBA'=\angle CAX=\angle KBC\Rightarrow BK=BA'\Rightarrow KX=XA'\ $). $X$ noktasının $(ABC)$ çemberine göre kuvveti $BX\cdot XC=AX\cdot XA'=AX\cdot KX$ olacaktır. Aynı zamanda Öklid teoreminden $BX\cdot XC=DX^2$ olduğunu biliyoruz. $DX^2=AX\cdot KX$ eşitliğini elde etmiş olduk.

$\dfrac{{\left[BDC\right]}^2}{\left[ABC\right]\left[BKC\right]}=\dfrac{DX^2\cdot BC^2}{AX\cdot BC\cdot KX\cdot BC}=\dfrac{DX^2}{AX\cdot KX}=1\Rightarrow {\left[BDC\right]}^2=\left[ABC\right]\cdot [BKC]$ elde edilir. Benzer şekilde

${\left[ECA\right]}^2=\left[ABC\right]\cdot [AKC]$ ve ${\left[FAB\right]}^2=\left[ABC\right]\cdot [BKA]$ olacağından taraf tarafa topladığımızda

$x^2+y^2+z^2=\left[ABC\right]\cdot \left(\left[AKC\right]+\left[ABK\right]+\left[BCK\right]\right)=\left[ABC\right]\cdot \left[ABC\right]=u^2$ elde edilir.