Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 2016 => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Haziran 26, 2016, 04:27:25 ös
-
Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c ^2 \ge \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}$$
olduğunu gösteriniz.
-
$(a+b)^2 \ge 4ab$ olduğunu biliyoruz. $(a+b)^2+4abc \le (c+1)(a+b)^2 \le 2(c+1)(a^2+b^2)$ yani $\dfrac{8}{(a+b)^2 + 4abc} \ge \dfrac{4}{(c+1)(a^2+b^2)}$ elde edilir. $A.G.O$ dan;
$$\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{4}{(c+1)(a^2+b^2)} \ge \sqrt{\frac{8}{c+1}}$$ elde edilir. Benzerlikten ötürü ispatlanması gereken $\dfrac{8}{c+3} \le \sqrt{\dfrac{8}{c+1}}$ dir. Düzenlersek $8(c+1) \le (c+3)^2 \Rightarrow (c-1)^2 \ge 0$ olması gerekir ki bu zaten doğrudur. İspat biter. Eşitlik $(1,1,1)$ için sağlanır.
-
Genelleştirilmiş JBMO 2016 #2 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9000.0)